Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

PP1) Nhân cùng một lượng liên hợp vào 2 vế

Ví dụ 1): Giải $PT: (\sqrt[]{4x + 1} - 2\sqrt[]{x - 1})(8x - 13 + 4\sqrt[]{4x² - 3x - 1}) = 15$

Điều kiện $: x ≥ 1$

$ PT ⇔ [(4x + 1) - 4(x - 1)](8x - 13 + 4\sqrt[]{4x² - 3x - 1}) = 15(\sqrt[]{4x + 1} + 2\sqrt[]{x - 1})$

$ ⇔ 8x - 13 + 4\sqrt[]{4x² - 3x - 1} = 3(\sqrt[]{4x + 1} + 2\sqrt[]{x - 1}) (1)$

Đặt $: t = \sqrt[]{4x + 1} + 2\sqrt[]{x - 1} > 0$

$ ⇔ t² = (4x + 1) + 4(x - 1) + 4\sqrt[]{4x + 1}.\sqrt[]{x - 1} = 8x - 3 + 4\sqrt[]{4x² - 3x - 1}(2)$

Thay vào $:(1) ⇔ t² - 10 = 3t ⇔ t² - 3t - 10 = 0 $

$ ⇔ (t - 5)(t + 2) = 0 ⇔ t - 5 = 0 ⇔ t = 5$

Thay vào $(2) : 25 = 8x - 3 + 4\sqrt[]{4x² - 3x - 1}$

$ ⇔ \sqrt[]{4x² - 3x - 1} = 7 - 2x$

$ ⇔ 4x² - 3x - 1 = 49 - 28x + 4x²$ ( với $ 1 ≤ x ≤ \dfrac{7}{2})$ 

$ ⇔ 25x = 50 ⇔ x = 2 (TM)$

Ví dụ 2)

$ x² + 3x + 5 = (x + 3)\sqrt[]{x² + 5}$ 

$ ⇔ x² - 4 + 3(x + 3) - (x + 3)\sqrt[]{x² + 5} = 0$

$ ⇔ x² - 4 - (x + 3)(\sqrt[]{x² + 5} - 3) = 0$

$ ⇔ (x² - 4)(\sqrt[]{x² + 5} + 3) - (x + 3)[(\sqrt[]{x² + 5})² - 3²] = 0$

$ ⇔ (x² - 4)(\sqrt[]{x² + 5} + 3) - (x + 3)(x² - 4) = 0$

$ ⇔ (x² - 4)(\sqrt[]{x² + 5} - x) = 0$

@ $ x² - 4 = 0 ⇔ x = ± 2$

@ $ \sqrt[]{x² + 5} - x = 0 ⇔ \sqrt[]{x² + 5} = x (x > 0)$

$ ⇔ x² + 5 = x² $ vô lý

Vậy $PT$ có 2 nghiệm $x = ± 2$

PP2) Nhân lượng liên hợp riêng cho từng hạng tử:

Ví dụ 3): Giải $PT: \sqrt[3]{x - 2} + \sqrt[]{x + 1} = 3$ 

Điều kiện $: x ≥ - 1$

$ PT ⇔ \sqrt[3]{x - 2} - 1 + \sqrt[]{x + 1} - 2 = 0$ 

$ ⇔ \frac{(\sqrt[3]{x - 2})³ - 1³ }{(\sqrt[3]{x - 2})² + \sqrt[3]{x - 2} + 1} + \frac{(\sqrt[]{x + 1})² - 2² }{\sqrt[]{x + 1} + 2} = 0$

$ ⇔ \frac{x - 3}{(\sqrt[3]{x - 2})² + \sqrt[3]{x - 2} + 1} + \frac{x - 3}{\sqrt[]{x + 1} + 2} = 0$ 

$ ⇔ (x - 3)[\frac{1}{(\sqrt[3]{x - 2})² + \sqrt[3]{x - 2} + 1} + \frac{1}{\sqrt[]{x + 1} + 2}] = 0$

$ ⇔ x - 3 = 0 ⇔ x = 3$ (vì $\frac{1}{(\sqrt[3]{x - 2})² + \sqrt[3]{x - 2} + 1} + \frac{1}{\sqrt[]{x + 1} + 2} > 0)$