Đáp án + giải thích các bước giải:

$\bullet$ Giá trị nhỏ nhất:

Theo bất đẳng thức Schur, ta có:

`x^2+y^2+z^2+(9xyz)/(x+y+z)>=2(xy+yz+zx)`

`->(x+y+z)^2+(9xyz)/(x+y+z)>=4(xy+yz+zx)`

`->1+9xyz>=4(xy+yz+zx)`

`->9/2xyz>=(4(xy+yz+zx)-1)/2`

`->x^2+y^2+z^2+9/2xyz>=x^2+y^2+z^2+(4(xy+yz+zx)-1)/2`

`->P>=(2(x+y+z)^2-1)/2`

`->P>=1/2`

Dấu bằng xảy ra khi `(a;b;c)=(1/3;1/3;1/3)` hoặc `(a;b;c)=(0;1/2;1/2)` và các hoán vị 

$\bullet$ Giá trị lớn nhất:

Vì `0<=x,y,z<=1`

$\to \begin{cases} xy(z-1)\le 0\\yz(x-1)\le0\\zx(y-1)\le0 \\ x(x-1)\le0 \\ y(y-1)\le0\\z(z-1)\le0\end{cases}\\\to\begin{cases} xyz-xy\le0\\xyz-yz\le0\\xyz-zx\le0\\x^2-x\le0\\y^2-y\le0\\z^2-z\le0\end{cases}\\\to\begin{cases}xyz\le xy\\xyz\le yz\\xyz\le zx\\x^2\le x\\y^2\le y\\z^2\le z\end{cases}$

Ta có:

`P=x^2+y^2+z^2+9/2xyz`

`=x^2+y^2+z^2+3/2 (xyz+xyz+xyz)`

`<=x^2+y^2+z^2+3/2(xy+yz+zx)`

`=x^2+y^2+z^2+3/4(1-x^2-y^2+z^2)`

`=1/4(x^2+y^2+z^2)+3/4`

`<=1/4(x+y+z)+3/4`

`=1`

`->P<=1`

Dấu bằng xảy ra khi `(x;y;z)=(0;0;1)` và các hoán vị 

$\\$

$\\$

$\\$

Phần min vô tình làm được vì `P` có dạng gần giống bất đẳng thức Schur nên mình thử áp dụng rồi biến đổi là ra. Phần max theo công thức của bất đẳng thức bị chặn bởi khoảng, đoạn.

`a\in[m;n]->(a-m)(a-n)<=0`

hoặc

`x;y;z\in[m;n]->(x-m)(y-m)(z-m)>=0;(x-n)(y-n)(z-n)<=0;...`

Ở đây cần khéo léo biển đổi một chút, vì nếu chỉ dùng cái đầu ta sẽ có `x^2+y^2+z^2<=1` luôn, nên ta cần dùng một phần `9/2xyz` để hạ bớt cái `x^2+y^2+z^2`, phần còn lại là biến đổi theo cảm tính