a, HB = CK

Có góc HBD = góc ABC (2 góc đối đỉnh)

     góc ECK = góc ACB (2 góc đối đỉnh)

mà góc ABC = góc ACB (ΔABC cân tại A)

⇒ góc HBD = ECK (tính chất bắc cầu)

Xét ΔDHB và ΔEKC có:

      BD = CE (gt)

      góc HBD = góc ECK (cmt)

⇒ ΔDHB = ΔEKC (ch-gn)

⇒ HB = CK (2 cạnh tương ứng)

b, góc AHB = góc AKC

Có: ABH + ABC = 180 độ (2 góc kề bù)

      ACK + ACB = 180 độ (2 góc kề bù)

mà ABC = ACB (cmt)

⇒ ABH = ACK (tính chất bắc cầu)

Xét ΔAHB và ΔAKC có:

     AB = AC (ΔABC cân tại A)

     ABH = ACK (cmt)

     HB = CK (cmt)

⇒ ΔAHB = ΔAKC (c.g.c)

⇒ AHB = AKC (2 góc tương ứng)

c, HK//DE

+ Có ΔABC cân tại A (gt) ⇒ ABC = ACB (tính chất Δcân) 

                                         mà ABC + ACB + BAC = 180 độ (tổng 3 góc trong 1 Δ)

                                         ⇒ ABC = ACB = $\frac{180 - BAC}{2}$ (1)

+ Có AB + BD = AD (tính chất + đoan thẳng)

         AC + CE = AE (tính chất + đoạn thẳng)

mà AB = AC (ΔABC cân tại A)

      BD = CE (gt)

⇒ AD = AE (tính chất bắc cầu)

⇒ ΔADE cân tại A (dhnb)

⇒ ADE = AED (tính chất Δcân)

mà ADE + AED + DAE = 180 độ (tính chất tổng 3 góc trong Δ)

⇒ ADE = AED = $\frac{180 - DAE}{2}$ (2)

Từ (1) và (2) ⇒ ABC = ACB = ADE = AED

                    ⇒ ABC = ADE

              mà 2 góc này nằm ở vị trí đồng vị

                ⇒ HK//DE (dhnb)

d, ΔAHE = ΔAKD 

Vì ΔAHB = ΔAKC (cmt) ⇒ AH = AK (2 cạnh tương ứng)

                                         và HAB = KAC (2 góc tương ứng)

Có HAB + BAC = HAE (tính chất + góc)

     KAC + BAC = KAD (tính chất + góc)

mà HAB = KAC (cmt)

⇒ HAE = KAD (tính chất bắc cầu)

Xét ΔAHE và ΔAKD có:

      AH = AK (cmt)

      HAE = KAD (cmt)

      AD = AE (cmt)

⇒ ΔAHE = ΔAKD (c.g.c)