Đáp án:

a) $BC=15cm$

b) $\triangle ABD=\triangle EBD$

c) $AE\bot BD$

d) $AE//FC$

Giải thích các bước giải:

a)

$\triangle ABC$ vuông tại A:

$AB^2+AC^2=BC^2$ (định lý Pytago)

$\to BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{9^2+12^2}=15(cm)$

b)

Xét $\triangle ABD$ và $\triangle EBD$:

$\widehat{BAD}=\widehat{BED}\,\,\,(=90^o)$

$BD$: chung

$\widehat{ABD}=\widehat{EBD}$ (gt)

$\to\triangle ABD=\triangle EBD$ (ch - gn)

c)

$\triangle ABD=\triangle EBD$ (cmt)

$\to BA=BE$ (2 cạnh tương ứng)

$\to\triangle BAE$ cân tại B

Mà BD là phân giác của $\widehat{ABE}$ (gt)

$\to$ BD đồng thời là đường cao

$\to BD\bot AE$

d)

$\triangle ABD=\triangle EBD$ (cmt)

$\to DA=DE$ (2 cạnh tương ứng)

Xét $\triangle ADF$ và $\triangle EDC$:

$\widehat{DAF}=\widehat{DEC}\,\,\,(=90^o)$

$DA=DE$ (cmt)

$\widehat{ADF}=\widehat{EDC}$ (đối đỉnh)

$\to\triangle ADF=\triangle EDC$ (g.c.g)

$\to AF=EC$ (2 cạnh tương ứng)

Mà $BA=BE$ (cmt)

$\to BA+AF=BE+EC\\\to BF=BC$

$\to\triangle BFC$ cân tại B

$\to\widehat{BFC}=\widehat{BCF}$ (2 góc ở đáy)

$\widehat{FBC}+\widehat{BFC}+\widehat{BCF}=180^o$ (tổng 3 góc trong tam giác)

$\to\widehat{FBC}+2\widehat{BFC}=180^o$ (1)

$\triangle BAE$ cân tại B (cmt)

$\to\widehat{BAE}=\widehat{BEA}$ (2 góc ở đáy)

$\widehat{ABE}+\widehat{BAE}+\widehat{BEA}=180^o$ (tổng 3 góc trong tam giác)

$\to\widehat{ABE}+2\widehat{BAE}=180^o$ (2)

Từ (1), (2) $\to\widehat{BFC}=\widehat{BAE}$

Mà 2 góc này nằm ở vị trí đồng vị

$\to AE//FC$