Giải thích các bước giải:

a.Ta có $BC=BH+HC=16+25=41$

Lại có $\Delta ABC$ vuông tại $A,AH\perp BC$

$\to AH^2=HB\cdot HC=16\cdot 25=400$

$\to AH=20$

$\to AB=\sqrt{AH^2+HB^2}=\sqrt{20^2+16^2}=4\sqrt{41}$

      $AC=\sqrt{AH^2+HC^2}=\sqrt{20^2+25^2}=5\sqrt{41}$

b.Ta có:

$\sin B=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{5}{\sqrt{41}}\to \hat B=\arcsin(\dfrac{5}{\sqrt{41}})$

$\to \hat C=90^o-\arcsin(\dfrac{5}{\sqrt{41}})$

c.Vì $AD$ là phân giác góc $A$

$\to \dfrac{DB}{DC}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac45$

$\to \dfrac{DB}{DB+DC}=\dfrac{4}{4+5}$

$\to \dfrac{DB}{BC}=\dfrac49$

$\to DB=\dfrac49BC=\dfrac{164}{9}$

$\to DC=BC-DB=\dfrac{205}{9}$

d.Ta có $\Delta AHB$ vuông tại $H,HE\perp AB$

$\to BH^2=BE\cdot BA$ (Hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Tương tự $CH^2=CE\cdot CA\to CE=\dfrac{CH^2}{CA}, AB^2=BH\cdot BC\to BH=\dfrac{AB^2}{BC}, AC^2=CH\cdot CB$

$\to BE=\dfrac{BH^2}{BA}=\dfrac{\dfrac{AB^4}{BC^2}}{BA}=\dfrac{BA^3}{BC^2}$

Tương tự $CF=\dfrac{AC^3}{BC^2}$

$\to BE+CF=\dfrac{AB^3+AC^3}{BC^2}=\dfrac{AB^3+AC^3}{AB^2+AC^2}$