Đáp án:

Giả sử M nằm trên AB sao cho AM = x

Do MN // BC nên theo định lý Talet ta có:

$\dfrac{{AM}}{{AB}} = \dfrac{{AN}}{{AC}} = \dfrac{{MN}}{{BC}} = \dfrac{x}{a}$

Gọi đường cao hạ từ A xuống BC,MN là AH và AK

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \dfrac{{AK}}{{AH}} = \dfrac{{AM}}{{AB}} = \dfrac{x}{a}\\
Do:{S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}.AH.BC = S\\
{S_{AMN}} = \dfrac{1}{2}.AK.MN\\
 = \dfrac{1}{2}.AH.\dfrac{x}{a}.BC.\dfrac{x}{a}\\
 = \dfrac{1}{2}.AH.BC.{\left( {\dfrac{x}{a}} \right)^2}\\
De:{S_{AMN}} = 2S\\
 \Rightarrow \dfrac{1}{2}.AH.BC.{\left( {\dfrac{x}{a}} \right)^2} = 2S\\
 \Rightarrow S.{\left( {\dfrac{x}{a}} \right)^2} = 2S\\
 \Rightarrow {\left( {\dfrac{x}{a}} \right)^2} = 2\\
 \Rightarrow \dfrac{x}{a} = \sqrt 2 \\
 \Rightarrow x = \sqrt 2 .a\\
 \Rightarrow AM = \sqrt 2 .a
\end{array}$

Vậy M nằm trên tia AB sao cho $AM = \sqrt 2 a$ thì thỏa mãn yêu cầu.