a)

Xét $\Delta AMB$ và $\Delta AMC$, ta có:

+  $AB=AC$ (vì $\Delta ABC$ cân tại $A$)

+  $\widehat{MAB}=\widehat{MAC}$ (vì $AM$ là phân giác)

+  $AM$ là cạnh chung

Nên $\Delta AMB=\Delta AMC\left( c.g.c \right)$

 

b)

Xét $\Delta AME$ vuông tại $E$ và $\Delta AMF$ vuông tại $F$, ta có:

+  $AM$ là cạnh chung

+  $\widehat{MAD}=\widehat{MAF}$ (vì $AM$ là phân giác)

Nên $\Delta AME=\Delta AMF\left( ch-gn \right)$

Do đó $ME=MF$ (hai cạnh tương ứng)

Vậy $\Delta MEF$ cân tại $M$

 

c)

Gọi $D$ là giao điểm $AM$ và $EF$

Xét $\Delta ADE$ và $\Delta ADF$, ta có:

+  $AD$ là cạnh chung

+  $\widehat{DAE}=\widehat{DAF}$ (vì $AM$ là phân giác)

+  $AE=AF$ (vì $\Delta AME=\Delta AMF$)

Nên $\Delta ADE=\Delta ADF\left( c.g.c \right)$

Do đó $\widehat{ADE}=\widehat{ADF}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{ADE}+\widehat{ADF}=180{}^\circ $ (hai góc kề bù)

Nên $\widehat{ADE}=\widehat{ADF}=\dfrac{180{}^\circ }{2}=90{}^\circ $

Vậy $AM\bot EF$ tại $D$

 

d)

Vì $\Delta AMB=\Delta AMC\left( cmt \right)$

Nên $\widehat{AMB}=\widehat{AMC}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180{}^\circ $ (hai góc kề bù)

Nên $\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=\frac{180{}^\circ }{2}=90{}^\circ $

Do đó $AM\bot BC$

Mà $KI\bot BC\left( gt \right)$

Vậy $AM//KI$

 

Ta có:

+   $\widehat{AEK}=\widehat{BEI}$ (hai góc đối đỉnh)

+   $\widehat{BEI}=\widehat{BAM}$ (vì $AM//KI$, hai góc đồng vị)

+   $\widehat{BAM}=\widehat{CAM}$ (vì $AM$ phân giác)

+   $\widehat{CAM}=\widehat{AKE}$ (vì $AM//KI$, hai góc đồng vị)

Nên $\widehat{AEK}=\widehat{AKE}$

$\to \Delta AKE$ cân tại $A$

$\to AK=AE$

Mà $AE=AF$ (vì $\Delta AME=\Delta AMF$)

Nên $AK=AF$

Vậy $A$ là trung điểm $KF$