Đáp án: $AD=7,BD=2$

Giải thích các bước giải:

Gọi $AI$ là phân giác góc $A, I\in DE$

$\to \Delta ADE$ có $DE\perp AI\to AI\perp DE\to AI$ vừa là đường cao, vừa là đường phân giác $\Delta ADE$

$\to \Delta ADE$ cân tại $A$

$\to AD=AE,\widehat{ADE}=\widehat{AED}$

Kẻ $BF//AC\to \widehat{BFD}=\widehat{AED}=\widehat{ADE}=\widehat{BDF}$

$\to \Delta BDF$ cân tại $B$

$\to BD=BF$

Ta có $BF//CE\to \widehat{FBM}=\widehat{MCE}$

Mà $MB=MC$ do $M$ là trung điểm $BC$

      $\widehat{BMF}=\widehat{EMC}$ (đối đỉnh)

$\to \Delta BMF=\Delta CME(c.g.c)$

$\to BF=CE$

$\to BD=CE$

$\to AD=AB+BD, AE=AC-CE$

$\to AD+AE=(AB+BD)+(AC-CE)=(AB+AC)+(BD-CD)=AB+AC$

$\to 2AD=2AE=AB+AC$

$\to AD=AE=\dfrac12(AB+AC)=7$

$\to BD=AD-AB=2$

Từ $B$ kẻ $BN//AC \, (N\in DE)$

$\Rightarrow \widehat{BND} = \widehat{AED}$ (đồng vị)

Xét $∆BNM$ và $∆CEM$ có:

$BM= CM\, (gt)$

$\widehat{MBN} = \widehat{MCE}$ (so le trong)

$\widehat{BMN} = \widehat{CME}$ (đối đỉnh)

Do đó $∆BNM=∆CEM\, (g.c.g)$

$\Rightarrow BN = CE$ $(1)$

Gọi $I$ là giao điểm giữa đường phân giác góc $A$ và $DE$

Xét $∆ADE$ có:

$AI$ là phân giác $\widehat{A}$

$AI$ là đường cao ứng với cạnh $DE$ $(AI\perp DE: \, gt)$

Do đó $∆ADE$ cân tại $A$

$\Rightarrow AE= AD; \widehat{ADE} = \widehat{AED}$

mà $\widehat{AED} = \widehat{BND}$

nên $\widehat{ADE} = \widehat{BND}$

hay $\widehat{BDN} = \widehat{BND}$

$\Rightarrow ∆BND$ cân tại $B$

$\Rightarrow BN = BD$ $(2)$

$(1)(2) \Rightarrow BD = EC$

$\Rightarrow AD = AB + BD$

Ta lại có: $AE = AC - EC$

$\Rightarrow AD + AE = AB + AC + BD - EC$

$\Rightarrow 2AD = AB + AC$

$\Rightarrow AD = \dfrac{AB+AC}{2} = \dfrac{5 + 9}{2} = 7 \, cm$

Ta được: $BD = AD - AB$

$= \dfrac{AB + AC}{2} - AB = \dfrac{AC - AB}{2} = \dfrac{9 - 5}{2} = 2\, cm$