Đáp án + Giải thích các bước giải:

 `a)`

$Vì$ `\triangleABC` $\text{ cân tại }$ `A`

`=> AB = AC `

$-$ $Xét$ `\triangleABH` $và$ `\triangleACH` $có$ :

   `AB = AC ( cmt )`

   `\hat{AHB} = \hat{AHC} ( = 90^o )`

   $\text{ AH là cạnh chung }$

$\text{ Suy ra : }$ `\triangleABH = \triangleACH ( c. g. c ) `        

`=> HB = HC` $\text{ ( 2 cạnh tương ứng ) }$

                                                `=> đpcm `

`b)`

$\text{ Theo phần a) có : }$

`HB = HC`

`=> H` $\text{ là trung điểm của BC }$

`=> HB = HC = {BC}/2 = 12/2 = 6 ( cm )`

$\text{ Áp dụng đinh lí Py - ta - go vào }$ `\triangleABH` $được$ :

    `AB^2 = BH^2 + AH^2`

`<=> 8^2 = 6^2 + AH^2`

`<=> 64 = 36 + AH^2`

`<=> AH^2 = 64 - 36`

`<=> AH^2 = 28`

`<=> AH = \sqrt{28}`

 $Vậy$ `AH = \sqrt{28} cm`

`c)`

$\text{ Theo phần a) có : }$

`\triangleABH = \triangleACH ( c. g. c ) `        

`=> \hat{BAH} = \hat{CAH}` $\text{ ( 2 góc tương ứng ) }$

$hay$ `\hat{IAH} = \hat{KAH}`

$-$ $Xét$ `\triangleIAH` $và$ `\triangleKAH` $có$ :

    `\hat{AIH} = \hat{AKH} ( = 90^o )`

    `\hat{IAH} = \hat{KAH} ( cmt )`

     `AH` là cạnh chung

`=> \triangleIAH = \triangleKAH` $\text{ ( cạnh huyền - góc nhọn ) }$

`=> AI = AK` $\text{ ( 2 cạnh tương ứng ) }$

`=> \triangleAIK` $\text{ cân tại }$ `A   ( đpcm )`

Lời giải:

a, Vì `\triangleABC` cân tại `A`

`=> AB = AC, \hat{B} = \hat{C}`

Xét `\triangleABH \bot` tại `H` và `\triangleACH \bot` tại `H` có:

`AB = AC (cmt)`

`\hat{B} = \hat{C} (cmt)`

`=> \triangleABH = \triangleACH` (Cạnh huyền - góc nhọn)

`=> HB = HC` (Hai cạnh tương ứng)

b, Ta có:

`HB = HC (cmt)`

Mà `BC = HB + HC; BC = 12 (cm)`

`=> HB = HC = 12/2 = 6 (cm)`

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông `ABH` có:

`AB^2 = AH^2 + BH^2`

`8^2 = AH^2 + 6^2`

`64 = AH^2 + 36`

`AH^2 = 64 - 36`

`AH^2 = 28`

`AH = \sqrt{28}`

Vậy `AH = \sqrt{28}` `(cm)`

c, Xét `\triangleBHI \bot` tại `I` và `\triangleCHK \bot` tại `K` có:

`HB = HC (cmt)`

`\hat{B} = \hat{C} (cmt)`

`=> \triangleBHI = \triangleCHK` (Cạnh huyền - góc nhọn)

`=> BI = CK` (Hai cạnh tương ứng)

Ta thấy:

`AB = AI + BI`

`AC = AK + CK`

Mà `AB = AC (cmt)`

     `BI = CK (cmt)`

`=> AI = AK`

`=> \triangleAIK` cân tại `A`