Đáp án:

1.

$\begin{array}{l}
a.A = 5cm;T = 0,5s;f = 2s;\varphi  = \frac{\pi }{3}\\
b.x =  - 2,5cm;v = 10\pi \sqrt 3 cm/s;a = 400cm/{s^2}
\end{array}$

2. 

a. 400N/m

b. $x = 3\cos \left( {10\pi  - \frac{\pi }{2}} \right)cm$

3. 0,54m

Giải thích các bước giải:

 1.

a. Từ phương trình dao động của vật ta có:

$\begin{array}{l}
x = 5\cos \left( {4\pi t - \frac{{2\pi }}{3} + \pi } \right) = 5\cos \left( {4\pi t + \frac{\pi }{3}} \right)cm\\
A = 5cm\\
T = \frac{{2\pi }}{\omega } = \frac{{2\pi }}{{4\pi }} = 0,5s\\
f = \frac{1}{T} = 2s\\
\varphi  = \frac{\pi }{3}
\end{array}$

b. Phương trình vận tốc và gia tốc

$\begin{array}{l}
v =  - 4\pi .5\sin \left( {4\pi t + \frac{\pi }{3}} \right) =  - 20\pi \sin \left( {4\pi t + \frac{\pi }{3}} \right)\\
a =  - {\left( {4\pi } \right)^2}.5\cos \left( {4\pi t + \frac{\pi }{3}} \right) =  - 800\cos \left( {4\pi t + \frac{\pi }{3}} \right)
\end{array}$

Tại $t = \frac{1}{4}s:$

$x =  - 2,5cm;v = 10\pi \sqrt 3 cm/s;a = 400cm/{s^2}$

2. 

a. Độ cứng con lắc lò xo

$f = \sqrt {\frac{k}{m}} .\frac{1}{{2\pi }} \Rightarrow 5 = \sqrt {\frac{k}{{0,4}}} .\frac{1}{{2\pi }} \Rightarrow k = 400N/m$

b. Tần số góc: $\omega  = 2\pi f = 10\pi $

Biên độ dao động:$A = \frac{L}{2} = 3cm$

Pha ban đầu:$\varphi  =  - \frac{\pi }{2}$

Phương trình: $x = 3\cos \left( {10\pi  - \frac{\pi }{2}} \right)cm$

3.

Theo đề bài ta có

$\begin{array}{l}
T = 2 = 2\pi \sqrt {\frac{l}{g}} \left( 1 \right)\\
T + 0,25 = 2\pi \sqrt {\frac{{l + 0,2}}{g}} \left( 2 \right)\\
\left( 2 \right) - \left( 1 \right) \Rightarrow 0,25 = \frac{{2\pi }}{{\sqrt g }}\left( {\sqrt {l + 0,2}  - \sqrt l } \right) = \frac{{2\pi }}{\pi }\left( {\sqrt {l + 0,2}  - \sqrt l } \right)\\
 \Rightarrow l = 0,54m
\end{array}$