Ta có `: x - y + z = 0`

`⇒ x - y = 0 + z`

`⇒ x - y = z`

Thay `z = x - y` vào `xy + z^2 ,` ta được `:`

`xy + z^2`

`= xy + ( x - y )^2`

`= xy + x^2 - 2xy + y^2`

`= x^2 - xy + y^2`

`= x^2 - xy + 1/4 y^2 + 3/4y^2`

`= ( x - 1/2 y )^2 + 3/4 y^2 ≥ 0`

`⇒ xy + z^2 ≥ 0`

`⇒ xy + z^2` luôn không âm `AA x , y , z ∈ Z (` Điều phải chứng minh `)`

`***` Công thức `: ( a - b )^2 = a^2 - 2ab + b^2`

`-` Chứng minh `:`

`( a - b )^2 = ( a - b ) . ( a - b ) = a . ( a - b ) - b . ( a - b ) = a^2 - ab - ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2`

Đáp án + Giải thích các bước giải:

Do `x-y+z=0`

`=> x-y = -z`

`=> y-x=z`

`=> xy + z^2`

`= xy + (y-x)^2`

`= xy + y^2 - 2xy + x^2`

`= y^2 - xy + x^2`

`= y^2 - 2. 1/2x .y + (1/2 x)^2 + 3/4x^2`

`= (y-1/2x)^2 + 3/4x^2`

Do `(y-1/2x)^2 >= 0; 3/4x^2 >= 0`

`=> (y-1/2x)^2 + 3/4x^2 >= 0`

Hay `xy+z^2` luôn nhận giá trị không âm `(đpcm)`

`#t oiyeubongda`