`a)` $AH\perp BC$ (gt)

`=>∆IHB` vuông tại $H$

Mà `HI=HB` (gt)

`=>∆AHB` vuông cân tại $H$

`=>\hat{BIH}=45°`

`=>\hat{AID}=\hat{BIH}=45°` (hai góc đối đỉnh)

$\\$

+) `∆AHC` vuông tại $H$

Mà $AH=HC$ (gt)

`=>∆AHC` vuông cân tại `H`

`=>\hat{HAC}=45°`

`=>\hat{IAD}=45°`

$\\$

+) Xét $∆AID$ có:

`\hat{ADI}+\hat{AID}+\hat{IAD}=180°` (tổng `3` góc trong ∆)

`=>\hat{ADI}=180°-(45°+45°)=90°`

`=>BD`$\perp AC$ tại $D$

$\\$

+) Xét $∆ABC$ có:

`\qquad AH`$\perp BC$ (gt)

`\qquad BD`$\perp AC$ (c/m trên)

`\qquad AH` cắt $BD$ tại $I$

`=>I` là trực tâm $∆ABC$ (đpcm)

$\\$

`b)` Xét $∆IHB$ vuông cân tại $H$ có $HP$ là trung tuyến (do $P$ là trung điểm $BI$)

`=>HP=BP=1/ 2 BI` `(1)`

`\qquad HP` vừa là trung tuyến và đường cao $∆IHB$

`=>HP`$\perp BI$

$\\$

Xét $∆AHC$ vuông cân tại $H$ có $HQ$ là trung tuyến (do $Q$ là trung điểm $AC$)

`=>HQ=QC=1/ 2 AC`

`\qquad HQ` vừa là trung tuyến và đường cao $∆AHC$

`=>HQ`$\perp AC$

Mà $BD\perp AC$ (câu a)

`=>HQ`//$BD$

`=>\hat{PDH}=\hat{QHD}` (hai góc so le trong)

$\\$

Xét $∆PDH$ và $∆QHD$ có:

`\qquad \hat{HPD}=\hat{DQH}=90°`

`\qquad HD` là cạnh chung

`\qquad \hat{PDH}=\hat{QHD}` (c/m trên)

`=>∆PDH=∆QHD` (ch-gn)

`=>DP=HQ` (hai cạnh tương ứng)

Mà $HQ=QC$ (c/m trên)

`=>QC=DP` `(2)`

Từ `(1);(2)=>QC+PH=DP+BP=BD` 

Vậy `QC+PH=BD` (đpcm)

$\\$

`c)` $∆ABH$ vuông tại $H$ có $HN\perp AB$ tại $N$ (gt)

`=>S_{∆ABH}=1/ 2 HN.AB`

`\qquad S_{∆ABH}=1/ 2 AH.BH`

`=>HN.AB=AH.BH`

`\qquad AB^2=AH^2+BH^2` (định lý Pytago)

`=>HN^2+AB^2>AH^2+BH^2`

`=>HN^2+HN.AB+HN.AB+AB^2`

`> AH^2+AH.BH+AH.BH+BH^2`

`=>HN. (HN+AB)+AB.(HN+AB)`

`>AH.(AH+BH)+BH.(AH+BH)`

`=>(HN+AB).(HN+AB)>(AH+BH)(AH+BH)`

`=>(HN+AB)^2>(AH+BH)^2`

`=>(HN+AB)^2>(HC+BH)^2` (vì $AH=HC)$

`=>(HN+AB)^2>BC^2`

`=>HN+AB>BC` (đpcm)