Bài 1:

$f(x) = x^{99} + x^{55} + x^{11} + x + 7$

a) Gọi $R$ là số dư của phép chia $f(x)$ cho $x + 1$

Áp dụng định lý Bézout

Ta được:

$R = f(-1) = (-1)^{99} + (-1)^{55} + (-1)^{11} + (-1) + 7 = 3$

b) Ta có:

$f(x) = x^{99} + x^{55} + x^{11} + x + 7$

$= x^{99} - x^3 + x^{55} - x^3 + x^{11} - x^3 + 3x^3 + 3x - 2x 7$

$= x^3(x^{96} - 1) + x^3(x^{52} - 1) + x^3(x^{8} - 1) + 3x(x^2 +1) - 2x + 7$

Ta có: $x^{96} - 1 = (x^4)^{24} - 1 \, \,\vdots \, \, x^4 - 1$

Mà $x^4 - 1 \,\, \vdots \,\,x^2 + 1$

nên $x^{96} - 1 \,\, \vdots \,\,x^2 + 1$

Tương tự: $x^{52} - 1 = (x^4)^{13} - 1\,\, \vdots \,\,x^2 + 1$

$x^{8} - 1 = (x^4)^2 - 1 \,\, \vdots \,\,x^2 + 1$

Do đó: $x^3(x^{96} - 1) + x^3(x^{52} - 1) + x^3(x^{8} - 1) + 3x(x^2 +1) \,\, \vdots \,\,x^2 + 1$

Vậy phần dư của phép chia $f(x)$ cho $x^2 + 1$ là $-2x + 7$

Bài 2:

$f(x) = x^{50} + x^{49} + \dots + x +1$

Gọi $R = ax + b$ là phần dư của phép chia $f(x)$ cho $x^2 -1$

Áp dụng định lý Bézout ta được:

$\begin{cases}R = f(-1) = - a + b\\R = f(1) = a + b\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}- a + b = 1\\a + b = 51\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}a = 25\\b = 26\end{cases}$

Vậy phần dư của phép chia $f(x)$ cho $x^2 - 1$ là $25x + 26$

Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

 bài 1:

a) f(x)=`x^99+x^55+x^11+x+7`

theo định lý bezout thì

`f(-1)=(-1)^99+(-1)^55+(-1)^11-1+7`

`=-1-1-1-1+7=3`

vậy `x^99+x^55+x^11+x+7` chia cho x+1 dư 3

b) ta có: `x^99+x^55+x^11+x+7=(x^99+x)+(x^55+1)+(x^11+1)-2x+7`

`=x(x^98+1)+x(x^54+1)+x(x^10+1)-2x+7`

`=x[(x^2)^49+1]+x[(x^2)^27+1]+x[(x^2)^5+1]-2x+7`

do `(x^2)^49+1` chia hết cho`x^2+1`

`(x^2)^27+1` chia hết cho `x^2+1`

`(x^2)^5+1` chia hết cho `x^2+1`

⇒`x^99+x^55+x^11+x+7` chia cho `x^2+1` dư -2x+7

bài 2:

`f(x)=x^50+x^49+...+x^2+x+1`

`f(x)=(x^50-1)+(x^49-x)+...+(x^2-1)-18x-24`

`f(x)=[(x^2)^25-1]+x[(x^2)^24-1]+....+(x^2-1)-18x-24`

do `(x^2)^25-1`chia hết cho `x^2-1`

`(x^2)^24-1`chia hết cho `x^2-1`

.....

`(x^2-1)`chia hết cho `x^2-1`

⇒f(x) chia cho `x^2-1` dư -18x-24