Giải thích các bước giải:

a, ME ║ AH mà AH ⊥ BC ⇒ ME ⊥ BC hay ME ⊥ MH

AE ║ BC mà AH ⊥ BC ⇒ AE ⊥ AH

Tứ giác AHME có 3 góc vuông: $\widehat{A}$, $\widehat{H}$, $\widehat{M}$

⇒ AHME là hình chữ nhật mà HA = HM (gt)

⇒ AHME là hình vuông

b, Xét 2 tam giác vuông ΔAEF và ΔAHB có:

AE = AH (= HM); $\widehat{EAF}$ = $\widehat{HAB}$ (cùng phụ với $\widehat{HAF}$)

⇒ ΔAEF = ΔAHB (cgv - gn)

⇒ AF = AB (đpcm)

c, Xét ΔABF vuông tại A có FN là trung tuyến ứng với cạnh huyền

⇒ NA = NF = NB

Xét ΔFMB vuông tại M có MN là trung tuyến ứng với cạnh huyền

⇒ MN = NF = NB

Suy ra: MN = NA

Xét ΔHNA và ΔHNM có:

NA = NM; HN chungl AH = MH (gt)

⇒ ΔHNA = ΔHNM (c.c.c)

⇒ $\widehat{NHA}$ = $\widehat{NHM}$ mà 2 góc này phụ nhau

⇒ $\widehat{NHA}$ = $\widehat{NHM}$ = $45^{o}$

mà $\widehat{EHA}$ = $45^{o}$ (AHME là hình vuông)

⇒ H, N, E thẳng hàng (đpcm)

d, Ta có:

$S_{AHME}$ = $AH^{2}$

$S_{ABC}$ = $\frac{1}{2}$.AH.BC

⇒ Để $S_{AHME}$ = $S_{ABC}$ thì $AH^{2}$ = $\frac{1}{2}$.AH.BC

⇔ AH = $\frac{1}{2}$.BC

⇔ ΔABC vuông cân tại A