Giải thích các bước giải:

a.Ta có $OM\perp AB\to H$ là trung điểm AB 

Mà AB là trung trực của OM $\to AM=BM=AO=OB=OM\to \Delta OAM$ đều

b.Ta có $CA,CB$ là tiếp tuyến của (O)
$\to CA=CB\to C\in$ trung trực của AB $\to C\in OH\to C,H,O$ thẳng hàng

Ta có $AH=\dfrac{R\sqrt{3}}{2}, AC=AO\sqrt{3}=R\sqrt{3}$

c.Ta có $ON\perp OA\to ON\perp MB(MB//OA)$

$\to M,B$ đối xứng qua NO

$\to \widehat{NBO}=\widehat{NMO}=90^o\to NM$ là tiếp tuyến của (O)

Ta có $\widehat{CAM}=\widehat{ABM}=\widehat{MAB}(MA=MB)$ mà CM là phân giác góc C

$\to M$ là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$

d.Ta có $\widehat{IOC}=\widehat{CAM}=\widehat{MBA}=\widehat{HBO}$

$\to\Delta HIO\sim\Delta HOB(g.g)\to HI.HB=HO^2$

Lại có $\widehat{HAM}=\widehat{ACO}=30^o\to\Delta HMA\sim\Delta HAC(g.g)\to HM.HC=HA^2$

$\to HI.HB+HM.HC=HO^2+HA^2=AO^2=R^2$