Đáp án:

\(BN=6cm\);  

Giải thích các bước giải:

 1. Độ dài cạnh \(BN\)

- Diện tích tam giác \(ABN\) bằng diện tích \(AMI\) và diện tích \(MNC\).

- Diện tích tam giác \(ABN\) gấp \(3\) lần diện tích tam giác \(IMN\) hay diện tích tam giác \(IMN\) bằng \(\frac{1}{3}\) diện tích tam giác \(ABN\).

Ta có : 

\(\begin{array}{l}
{S_{ABC}} = {S_{ABN}} + {S_{AIM}} + {S_{MNC}} + {S_{IMN}}\\
{S_{ABC}} = {S_{ABN}} + {S_{ABN}} + {S_{ABN}} + \frac{1}{3}{S_{ABN}}\\
{S_{ABC}} = \frac{{10}}{3}{S_{ABN}}
\end{array}\)

Hay \(\frac{{{S_{ABC}}}}{{{S_{ABN}}}} = \frac{{10}}{3}\)

Do tam giác \(ABN\) và tam giác \(ABC\) có chung chiều cao kẻ từ đỉnh \(A\) nên ta có : \(\frac{{BC}}{{BN}} = \frac{{20}}{{BN}} = \frac{{10}}{3}\)

Vậy cạnh \(BN=6cm\).

Do $S_{ABN}$=$S_{AIM}$=$S_{MNC}$ và $S_{ABN}$=$3\times S_{MIN}$ nên nếu coi $S_{MIN}$ là 1 phần thì $S_{ABN}$=$S_{AIM}$=$S_{MNC}$ là 3 phần bằng nhau.Vậy diện tích tam giác ABC bằng tổng diện tích 4  tam giác ABN, AIM,MNC,IMN và bằng 10 lần $S_{MIN}$

Như vậy dễ thấy:$\frac{S_{ABN}}{S_{ABC}}$=$\frac{3\times S_{MIN}}{10\times S_{MIN}}$ =$\frac{3}{10}$ 

Xét tam giác ABN và tam giác ABC có chung chiều cao hại từ đỉnh A xuống BC, $\frac{S_{ABN}}{S_{ABc}}$ =$\frac{3}{10}$ nên đáy BN bằng $\frac{3}{10}$ đáy BC.

Vậy độ dài đoạn BN là:

    $20\times\frac{3}{10}=6$(cm)

Xét tam giác BMN và tam giác BMC có chung chiều cao hạ từ M xuống BC,đáy NB bằng $\frac{3}{10}$ đáy BC nên $S_{BMN}$ = $\frac{3}{10}\times S_{BMC}$=$\frac{3}{10}\times3\times S_{MIN}$=$\frac{9}{10}\times S_{MIN}$

Ta có:

$S_{BMN}+S_{MNC}$=$\frac{9}{10}\times S_{MIN}$+$3\times S_{MIN}$=$\frac{39}{10}\times S_{MIN}$

Từ đó suy ra:

$\frac{S_{BMC}}{S_{ABC}}$=$\frac{\frac{39}{10} \times S_{MIN}}{10\times S_{MIN}}$ =$\frac{39}{100}$ 

Xét tam giác BMC và tam giác ABC có chung chiều cao hạ từ B xuống đáy AC, $\frac{S_{BMC}}{S_{ABC}}=\frac{39}{100}$ nên đáy MC bằng $\frac{39}{100}$ đáy AC.

Độ dài đoạn MC là:

  $28\times39:100=10,92$(cm)

Độ dài đoạn AM là:

    $28-10,92=17,08$(cm)

                 ĐS: BN: 6 cm, AM: 17,08 cm