Bài 1: Sửa đề: $M,N$ lần lượt là trung điểm $AB,CD$

Ta có:

$AM = MB = \dfrac{1}{2}AB \, (gt)$

$CN = ND = \dfrac{1}{2}CD \, (gt)$

$AB = CD \, (gt)$

$\Rightarrow AM = MB = CN = ND$

Ta lại có: $AB//CD \, (gt)$

$\Rightarrow AM//ND$

Do đó $AMND$ là hình bình hành

Tương tự, xét tứ giác $DMBN$ có:

$MB = ND$

$MB//ND \, (AB//CD)$

Do đó $DMBN$ là hình bình hành

Xét tứ giác $AMCN$ có:

$AM = CN$

$AM//CN \, (AB//CD)$

Do đó $AMCN$ là hình bình hành

Ta lại có:

$O$ là trung điểm đường chéo $MN$

$\Rightarrow O$ là trung điểm đường chéo $AC$

Hay $A,O,C$ thẳng hàng

Bài 2:

a) Xét tứ giác $ADBE$ có:

$AD//BE \, (AD//BC)$

$AE//BD \, (gt)$

Do đó $ADBE$ là hình bình hành

Xét tứ giác $ABDF$ có:

$AB//DF \, (AB//CD)$

$AF//BD \, (gt)$

Do đó $ABDF$ là hình bình hành

b) Ta có:

$ADBE$ là hình bình hành (câu a)

$\Rightarrow AD = BE$

mà $AD = BC \, (gt)$

nên $BE = BC$

$\Rightarrow B$ là trung điểm $BE$

$\Rightarrow FB$ là trung tuyến ứng với cạnh $BE$ $(1)$

Chứng minh tương tự, ta được:

$DF = DC \, (=AB)$

$\Rightarrow ED$ là trung tuyến ứng với cạnh $CF$ $(2)$

$AE = AF \, (= BD)$

$\Rightarrow CA$ là trung tuyến ứng với cạnh $EF$ $(3)$

$(1)(2)(3)\Rightarrow AC,ED,BF$ đồng quy