Đáp án:

a) $\triangle ABM=\triangle ACM$

b) $AM=4cm$

c) $HM<MC$

d) $HK//EF$

Giải thích các bước giải:

a)

Xét $\triangle ABM$ và $\triangle ACM$:

$\widehat{AMB}=\widehat{AMC}\,\,\,(=90^o)$

$AB=AC$ (2 cạnh bên của tam giác cân)

$AM$: chung

$\to\triangle ABM=\triangle ACM$ (ch - cgv)

$\to BM=CM$ (2 cạnh tương ứng)

b)

Ta có: $BM=CM=\dfrac{1}{2}BC=3(cm)$

$\triangle AMB$ vuông tại M:

$AM^2+BM^2=AB^2$ (định lý Pytago)

$\to AM=\sqrt{AB^2-BM^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4(cm)$

c)

$\triangle ABM=\triangle ACM$ (cmt)

$\to\widehat{BAM}=\widehat{CAM}$ (2 góc tương ứng)

Xét $\triangle AHM$ và $\triangle AKM$:

$\widehat{AHM}=\widehat{AKM}\,\,\,(=90^o)$

$AM$: chung

$\widehat{HAM}=\widehat{KAM}$ (cmt)

$\to\triangle AHM=\triangle AKM$ (ch - gn)

$\to HM=KM$ (2 cạnh tương ứng)

$\triangle KMC$ vuông tại K:

$KM<MC$ (cạnh góc vuông nhỏ hơn cạnh huyền)

$\to HM<MC$

d)

$\triangle AHM=\triangle AKM$ (cmt)

$\to AH=AK$ (2 cạnh tương ứng)

$\to\triangle AHK$ cân tại K

$\to\widehat{AHK}=\widehat{AKH}$ (2 góc ở đáy)

$\widehat{HAK}+\widehat{AHK}+\widehat{AKH}=180^o$ (tổng 3 góc trong tam giác)

$\to\widehat{HAK}+2\widehat{AHK}=180^o$ (1)

Xét $\triangle AHE$ và $\triangle AKF$:

$\widehat{AHE}=\widehat{AKF}\,\,\,(=90^o)$

$AH=AK$ (cmt)

$\widehat{HAK}$: chung

$\to AE=AF$ (2 cạnh tương ứng)

$\to\triangle AEF$ cân tại A

$\to\widehat{AFE}=\widehat{AEF}$ (2 góc ở đáy)

$\widehat{FAE}+\widehat{AFE}+\widehat{AEF}=180^o$ (tổng 3 góc trong tam giác)

$\to\widehat{FAE}+2\widehat{AFE}=180^o$ (2)

Từ (1), (2) $\to\widehat{AHK}=\widehat{AFE}$

Mà 2 góc này nằm ở vị trí đồng vị

$\to HK//EF$