`(yz)/x` `+` `(xz)/y` `+` `(xy)/z` `=` 3 ĐKXĐ:x,y,z khác 0

⇔xyz(`(yz)/x` `+` `(xz)/y` `+` `(xy)/z`) `=` 3xyz

⇔(xy)²+(yz)²+(zx)²=3xyz

Vì (xy)²>0(dấu = k xảy ra vì x,y,z khác 0)

     (yz)²>0

     (xz)²>0

Cộng vế với vế ta đc: (xy)²+(yz)²+(zx)²>0

⇔3xyz>0

⇔xyz>0

Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho  3 số dương (xy)²,(yz)²,(zx)² ta được:

 (xy)²+(yz)²+(zx)²≥3$\sqrt[3]{(xy)²(yz)²(zx)²}$=3$\sqrt[3]{(xyz)⁴}$ =3$\sqrt[3]{(xyz)³.xyz}$ =3xyz$\sqrt[3]{xyz}$ 

⇒3xyz≥3xyz$\sqrt[3]{xyz}$ 

⇒1≥$\sqrt[3]{xyz}$ 

mà xyz>0 

1≥$\sqrt[3]{xyz}$>0

⇒1≥xyz>0

mà x,y,z nguyên

`->`|x|=|y|=|z|

*th1:Nếu x,y,z>0`->`x=y=z=1

*th2:Nếu x,y,z vừa âm vừa dương thì (x,y,z)=(1;-1;-1) và 3 hoán vị vòng quanh

Vậy các cặp cố (x,y,z) thỏa mãn là (1,1,1);(1,-1,-1);(-1,-1,1);(-1,1,-1)

 

 

Đáp án + Giải thích các bước giải:

Điều kiện: `x,y,z\ne0`

Ta có: `3=`$\dfrac{yz}{x}+\dfrac{xz}{y}+\dfrac{xy}{z}=\dfrac{y^2z^2+x^2z^2+x^2y^2}{xyz}>0$

Mà: `y^2z^2+x^2z^2+x^2y^2>0=>xyz>0`

`=>`$\dfrac{yz}{x};\dfrac{xz}{y};\dfrac{xy}{z}>0$

Áp dụng BĐT Cô-si cho `3` số dương, ta có:

`3=`$\dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x}+\dfrac{xz}{y}\ge3\sqrt[3]{xyz}\ge3$

Dấu "=" xảy ra khi `|x|=|y|=|z|`

Do đó: `3=`$3\sqrt[3]{xyz}$

`=>{(xyz=1),(|x|=|y|=|z|):}`

`+)` Trường hợp `x,y,z>0` ta được `x=y=z=1`

`+)` Trường hợp hai trong số `3` số `x,y,z` là số âm`,`ta có `(x;y;z)=(1;-1;-1)` và các hoán vị 

Vậy các cặp số `(x,y,z)` thỏa mãn là `(1, 1, 1); (1, -1, -1); (-1, -1, 1); (-1, 1, -1)`