Đáp án:

$\text{$a=-4$ và $b=7$}$

Giải thích các bước giải:

$\text{Đặt: $f(x)=x^3+ax+b$ chia cho $x-1$ dư 4}$

$\text{Theo định lý Bezout suy ra: $f(1)=4$}$

$⇔ 1+a+b=4$

$⇔ a+b=3$ $(1)$

$\text{Ta có: $f(x)=x^3+ax+b$ chia cho $x-5$ dư 112}$

$\text{Theo định lý Bezout suy ra: $f(5)=112$}$

$⇔ 5^3+5a+b=112$

$⇔ 5a+b=-13$ $(2)$

$\text{Trừ (1) và (2) từng vế ta được: $a+b-(5a+b)=3-(-13)$}$

$⇔ -4a=16$

$⇔ a=-4$

$\text{Thay a vào (1) được: $b=7$}$

$\text{Vậy $a=-4$ và $b=7$}$

Định lý Bezout ??

Phát biểu định lý như sau: `P(x):(x-a)` dư `r ⇔ P(a)=r`

Đặt `x^3+ax+b=P(x)`

`P(x):(x-1)` dư `4`

`⇒P(1)=4`

`⇒1+a+b=4`

`⇒a+b=3` (1)

`P(x):(x-5)` dư `112`

`⇒P(5)=112 `

`⇒125+5a+b=112`

`⇒ 5a+b=-13` (2)

Từ (1) và (2) ta có:

$\left \{ {{a+b=3} \atop {5a+b=-13}} \right.$

`⇔`$\left \{ {{a+b=3} \atop {5a+b-a-b=4a=-13-3=-16}} \right.$ 

`⇔`$\left \{ {{a+b=3} \atop {4a=-16}} \right.$ 

`⇔`$\left \{ {{-4+b=3} \atop {a=-4}} \right.$ 

`⇔`$\left \{ {{b=7} \atop {a=-4}} \right.$ 

Vậy đa thức `P(x)` có dạng `x^3-4x+7`