ĐK: `{(x; m in ZZ),(60x^2+120x+10m-10>0),(x+1>0):}`

`<=>{(x; m in ZZ),(36x^2+72x+6m-6>0),(x> -1):}`

`<=>{(x; m in ZZ),((6x+6)^2>42-6m),(x> -1):}`

`<=>{(x; m in ZZ),(m>7-6(x+1)^2),(x> -1):}`

Ta có: `log(60x^2+120x +10m -10)>1+ 3 log(x+1)`

`<=>1+log(6x^2+12x+m-1)>1+log(x^3+3x^2+3x+1)`

`<=>m>underbrace{x^3-3x^2-9x+2}_{f(x)}` (*)

Lại có:

`f^'(x)= 3 x^2 - 6 x - 9+2`

`{(f(0)=2),(f(1)=-9),(f(2)=-20),(f(3)=-25),(f(4)=-18),(f(5)=7),(f(6)=56):}`

Nhận thấy `f(x)` đồng biến trên `[3, oo)` nên `m>0` thì bất phương trình (*) có nhiều hơn `4` nghiệm nguyên    (loại)     `(1)`

Xét `m=2`, bất phương trình (*) có tập nghiệm: `{1; 2; 3; 4}`   (TM)        `(2)`

$\\$ 

$\\$

__________________________________________________________________________________

`@` `m<2` không thể đánh giá được trực tiếp, vì thế ta đành phải xét `x` để có thể tìm/đánh giá nốt giá trị của `m`. Chú ý rằng `x=0, x>=6` không thoả mãn vì (*) sẽ nhiều hơn `4` nghiệm nên ta chỉ cần xét các giá trị `x=1; 2; 3; 4`.

`@` Mặt khác, `f(1)>f(2); f(3); f(4)` nên nếu `x=1` thoả mãn thì các giá trị còn lại cũng thoả mãn theo, nếu không thoả mãn thì loại.

__________________________________________________________________________________

$\\$

$\\$

Xét `x=1`, ta có: `{(m>7-6(1+1)^2),(m-2> -11):}`

`<=>{(m> -17),(m> -9):}`

`<=>m> -9`       `(3)`

Từ `(1); (2); (3)`, ta được `-9<m le 2` nên `S` gồm `11` phần tử.