Đáp án:

$21 \, C. \, \dfrac{a^3}{3}$

$22 \, D.\, \dfrac{a^3\sqrt{15}}{18}$

Giải thích các bước giải:

Câu 21:

Gọi $H$ là trung điểm $AB$

$\Rightarrow HA = HB = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{a}{2}$

$\Rightarrow SH\perp (ABCD)$

$\Rightarrow SH\perp HD$

Áp dụng định lý $Pythagoras$ ta được:

$HD^2 = AD^2 + AB^2 = a^2 + \dfrac{a^2}{4} = \dfrac{5a^2}{4}$

$SD^2 = SH^2 + HD^2$

$\Rightarrow SH^2 = SD^2 - HD^2 = \dfrac{9a^2}{4} - \dfrac{5a^2}{4} = a^2$

$\Rightarrow SH = \sqrt{a^2} = a$

Ta được:

$V_{S.ABCD} = \dfrac{1}{3}S_{ABCD}.SH = \dfrac{1}{3}.a^2.a = \dfrac{a^3}{3}$

Câu 22:

Gọi $\left\{O\right\} = AC\cap BD$

$\Rightarrow AO = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{1}{2}AB\sqrt2 = \dfrac{a\sqrt2}{2}$

Gọi $G$ là trọng tâm $ΔABD$

$\Rightarrow SG\perp (ABCD)$

Ta cũng có: $AG = \dfrac{2}{3}AO = \dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{a\sqrt2}{2} = \dfrac{a\sqrt2}{3}$

Áp dụng định lý $\cos$ ta được:

$DG^2 = AD^2 + AG^2 - 2AD.AG.\cos\widehat{DAG}$

$\Leftrightarrow DG^2 = a^2 + \dfrac{2a^2}{9} - 2.a.\dfrac{a\sqrt2}{3}.\cos45^o$

$\Leftrightarrow DG^2 = \dfrac{5a^2}{9}$

$\Rightarrow DG = \dfrac{a\sqrt5}{3}$

Ta có:

$SG\perp (ABCD)$

$\Rightarrow \widehat{(SD;(ABCD))} = \widehat{SDG} = 60^o$

$\Rightarrow SG = DG.\tan\widehat{SDG} = \dfrac{a\sqrt5}{3}.\tan60^o = \dfrac{a\sqrt{15}}{3}$

Ta được:

$V_{S.BCD} = \dfrac{1}{3}S_{BDC}.SG = \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{2}S_{ABCD}.SG = \dfrac{1}{6}.a^2.\dfrac{a\sqrt{15}}{3} = \dfrac{a^3\sqrt{15}}{18}$