Đáp án:

a) $\triangle ABC\backsim\triangle FBA, k=\dfrac{AB}{FB}=\dfrac{BC}{BA}=\dfrac{AC}{FA}$

b) $FA.AC=FC.AB$

c) $\widehat{AMB}=\widehat{CKA}$

Giải thích các bước giải:

a)

Xét $\triangle ABC$ và $\triangle FBA$:

$\widehat{BAC}=\widehat{BFA}\,\,\,(=90^o)$

$\widehat{ABF}$: chung

$\to\triangle ABC\backsim\triangle FBA$ (g.g)

$\to k=\dfrac{AB}{FB}=\dfrac{BC}{BA}=\dfrac{AC}{FA}$

b)

Xét $\triangle FAC$ và $\triangle ABC$:

$\widehat{AFC}=\widehat{BAC}\,\,\,(=90^o)$

$\widehat{C}$: chung

$\to\triangle FAC\backsim\triangle ABC$ (g.g)

$\to\dfrac{FA}{AB}=\dfrac{FC}{AC}\\\to FA.AC=FC.AB$

c)

Xét $\triangle AFC$:

M là trung điểm của AF (gt)

K là trung điểm của FC (gt)

$\to MK//AC$

Mà $AB\bot AC$ (gt)

$\to MK\bot AB$

Xét $\triangle ABK$:

$AF\bot BK\,\,\,(AF\bot BC)$

$KM\bot AB$ (cmt)

M là giao điểm của AF và KM

$\to$ M là trực tâm của $\triangle ABK$

$\to BM\bot AK$

Gọi giao điểm của BM và AK là D

$\to BD\bot AK$

$\triangle BAD$ vuông tại D:

$\widehat{ABD}+\widehat{BAD}=90^o$ (2 góc phụ nhau)

Ta có: $\widehat{BAD}+\widehat{KAC}=\widehat{BAC}=90^o$

$\to\widehat{ABD}=\widehat{KAC}$

$\triangle ABC\backsim\triangle FBA$ (cmt)

$\to\widehat{ACB}=\widehat{FAB}$

Xét $\triangle AMB$ và $\triangle CKA$:

$\widehat{MAB}=\widehat{KCA}$ (cmt)

$\widehat{ABM}=\widehat{CAK}$ (cmt)

$\to\triangle AMB\backsim\triangle CKA$ (g.g)

$\to\widehat{AMB}=\widehat{CKA}$