Đáp án:

a) Do M đối xứng với E qua D nên 2DE= EM

Xét tam giác ABC có D và E là trung điểm của AB và BC

=> DE là đường trung bình của tam giác ABC

$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
DE//AC\\
2DE = AC
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
EM//AC\\
EM = AC
\end{array} \right.$

Xét tứ giác ACEM có: EM// AC và EM=AC

=> ACEM là hình bình hành (đpcm)

b)

DO tam giác ABC cân tại A nên AE là đường trung tuyến đồng thời là đường cao

=> AE⊥BC => góc AEB vuông

Xét tứ giác AEBM có 2 đường chéo AB và ME cắt nhau tại D là trung điểm mỗi đường

=> AEBM là hình bình hành

LẠi có góc E vuông

=> AEBM là hình chữ nhật (đpcm)

c)

CM = 4AE (do CM> AE)

Ta có; AC=AB= ME = 5cm ; AE= MB (do AEBM là hcn)

Trong tam giác vuông BME có:

$\begin{array}{l}
M{B^2} + B{E^2} = M{E^2}\\
 \Rightarrow M{B^2} + {\left( {\frac{{BC}}{2}} \right)^2} = {5^2}\\
 \Rightarrow M{B^2} + \frac{1}{4}B{C^2} = 25\left( 1 \right)
\end{array}$

Trog tam giác BMC vuông tại B có:

$\begin{array}{l}
M{B^2} + B{C^2} = M{C^2}\\
 \Rightarrow M{B^2} + B{C^2} = {\left( {4MB} \right)^2}\\
 \Rightarrow B{C^2} = 16M{B^2} - M{B^2} = 15M{B^2}\\
 \Rightarrow M{B^2} = \frac{1}{{15}}B{C^2}\left( 2 \right)
\end{array}$

Thay 2 vào 1 ta được:

$\begin{array}{l}
\frac{1}{{15}}B{C^2} + \frac{1}{4}B{C^2} = 25\\
 \Rightarrow \frac{{19}}{{60}}B{C^2} = 25\\
 \Rightarrow B{C^2} = \frac{{1500}}{{19}}\\
 \Rightarrow BC = \sqrt {\frac{{1500}}{{19}}}  \simeq 8,88\left( {cm} \right)
\end{array}$

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow {S_{ABC}} = \frac{1}{2}AE.BC\\
 = \frac{1}{2}.\sqrt {\frac{1}{{15}}B{C^2}} .BC\\
 = 10,19\left( {c{m^2}} \right)
\end{array}$