Giải thích các bước giải:

1.Ta có: $AN\perp AM$

$\to \widehat{NAD}=\widehat{NAM}-\widehat{DAM}=90^o-\widehat{DAM}=\widehat{DAB}-\widehat{DAM}=\widehat{MAB}$

Mà $AD=AB$ vì $ABCD$ là hình vuông

      $\widehat{ADN}=\widehat{ABM}=90^o$

$\to \Delta ADN=\Delta ABM(g.c.g)$

$\to AN=AM$

$\to \Delta AMN$ cân tại $A$

2.Ta có $\Delta AMN$ cân tại $A, AP\perp MN$

$\to AP$ là phân giác góc $\widehat{MAN}$

$\to \widehat{NAP}=\widehat{PAM}=\dfrac12\widehat{MAN}=45^o=\widehat{ACD}=\widehat{NCA}$

Kết hợp $\widehat{ANP}=\widehat{ANC}$

$\to \Delta NAP\sim\Delta NCA(g.g)$

$\to \dfrac{NA}{NC}=\dfrac{NP}{NA}$

$\to AN^2=NC.NP$

3.Ta có:

$c=\dfrac{S_{CMP}}{S_{ABCD}}=\dfrac{AB^2}{\dfrac12\cdot CP\cdot CM}=\dfrac{2AB^2}{CP\cdot CM}$

4.Ta có $AM\perp AN\to AN\perp AQ$

$\to \Delta ANQ$ vuông tại $A$

Mà $AD\perp NQ$ 
$\to \dfrac{1}{AN^2}+\dfrac{1}{AQ^2}=\dfrac1{AD^2}$

Mà $\Delta AMN$ cân tại $A\to AM=AN$

$\to \dfrac{1}{AM^2}+\dfrac{1}{AQ^2}=\dfrac1{AD^2}$ không đổi