Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta được:

$a^3 + b^3 + b^3 \geq 3\sqrt[3]{a^3.b^3.b^3} = 3ab^2$

Tương tự ta được:

$b^3 +c^3 + c^3 \geq 3bc^2$

$c^3 + a^3 + a^3 \geq 3ca^2$

Cộng vế theo vế ta được:

$3(a^3 + b^3 +c^3) \geq 3(ab^2 + bc^2 + ca^2)$

$\Leftrightarrow a^3 +b^3 +c^3 \geq ab^2 + bc^2 + ca^2$

Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c$

Đáp án:

Giả sử `a ≥ b ≥ c > 0`

Ta có : 

`a^3 + b^3 + c^3 - ab^2 - bc^2 - ca^2`

`= (a^3 - ca^2) + (b^3 - ab^2) + (c^3 - bc^2)`

`= a^2(a - c) + b^2(b - a) + c^2(c - b)`

`= a^2(a - c) - b^2[(a - c) + (c - b)] + c^2(c - b)`

`= a^2(a- c) - b^2(a - c) - b^2(c - b) + c^2(c - b)`

`= (a - c)(a^2 - b^2) + (c - b)(c^2 - b^2)`

Do `a ≥ c`

`=> a - c ≥ 0`

     `a ≥ b`

`=> a^2 ≥ b^2`

`=> a^2 - b^2 ≥ 0`

`=> (a - c)(a^2 - b^2) ≥ 0`

Do `c ≤ b`

`=> c - b ≤ 0`

     `c^2 ≤ b^2`

`=> c^2 - b^2 ≤ 0`

`=> (c - b)(c^2 - b^2) ≥ 0`

`=> (a - c)(a^2 - b^2) + (c - b)(c^2 - b^2) ≥ 0`

`=> đpcm`

Giải thích các bước giải: