a) Ta có:

$\sin B = \cos C = \dfrac{HC}{AC}$

$\Rightarrow \sin B.\cos C = \dfrac{HC^2}{AC^2} = \dfrac{HC^2}{HC.BC} = \dfrac{HC}{BC}$

b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được:

$BK.BM = AB^2$

$BH.BC = AB^2$

$\Rightarrow BK.BM = BH.BC$

c) Ta có:

$\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{AB}{2AM} = \dfrac{1}{2}\tan\widehat{BMK} = \dfrac{1}{2}\tan\widehat{BEC} = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{AC}{CE}$

$\Leftrightarrow AB.CE = \dfrac{AC^2}{2} = \dfrac{4AM^2}{2} = 2AM^2$

d) Ta có:

$\dfrac{S_{ABN}}{S_{ACN}} = \dfrac{BN}{CN}$

Ta lại có:

$AB//CE\, (\perp AC)$

Áp dụng định lý $Thales$ ta được:

$\dfrac{BN}{CN} = \dfrac{AB}{CE}$

$= \dfrac{AB}{\dfrac{2AM^2}{AB}} = \dfrac{AB^2}{2AM^2}$ (theo câu c)

$= \dfrac{2AB^2}{4AM^2}$

$ = 2\dfrac{AB^2}{AC^2}$

$= 2\cot^2\widehat{ABC}$

$= 2\cot^2\widehat{HAC}$