Gọi $I,K$ lần lượt là trung điểm $BE, CD$

Xét $ΔBDE$ có:

$DN = NE \, (gt)$

$BI = IE$ (cách dựng)

$\Rightarrow IN$ là đường trung bình

$\Rightarrow IN = \dfrac{1}{2}BD$

Chứng minh tương tự dựa vào các đường trung bình, ta được:

$NK = \dfrac{1}{2}CE$

$KM = \dfrac{1}{2}BD$

$MI = \dfrac{1}{2}CE$

mà $BD = CE \, (gt)$

nên $IN = NK = KM = MI$

$\Rightarrow MINK$ là hình thoi

$\Rightarrow MN$ là phân giác của $\widehat{INK}$

$\Rightarrow \widehat{INM} = \widehat{KNM}$ $(1)$

Mặt khác:

$IN//BD$ (tính chất đường trung bình)

$\Rightarrow IN/BP$

$\Rightarrow \widehat{INM} = \widehat{BPM} = \widehat{APQ}$ $(2)$ (đồng vị)

$NK//CE$ (tính chất đường trung bình)

$\Rightarrow NK//AC$

$\Rightarrow \widehat{KNM} = \widehat{CQM}$ $(3)$ (đồng vị)

$\widehat{CQM} = \widehat{AQP}$ $(4)$ (đối đỉnh)

$(1)(2)(3)(4)\Rightarrow \widehat{APQ} = \widehat{AQP}$

$\Rightarrow ΔAPQ$ cân tại $A$

$\Rightarrow AP = AQ$