a) Xét $ΔABF$ và $ΔACE$ có:

$\widehat{A}:$ góc chung

$\widehat{F} = \widehat{E} = 90^o$ (nhìn đường kính $BC$)

Do đó $ΔABF \sim ΔACE \, (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{AF}{AE}$

$\Rightarrow AE.AB = AF.AC$

b) Ta có: $\widehat{E} = \widehat{F} = 90^o$ (nhìn đường kính $BC$)

$\Rightarrow BF\perp AC; \, CE\perp AB$

mà $BF \cap CE = H$

$\Rightarrow H$ là trực tâm của $ΔABC$

$\Rightarrow AH\perp BC$

c) Xét tứ giác $AEHF$ có:

$\widehat{E} + \widehat{F} = 180^o$

Do đó $AEHF$ là tứ giác nội tiếp

$\Rightarrow A,E,H,F$ cùng thuộc một đường tròn

Do $\widehat{E} = \widehat{F} = 90^o$

và $\widehat{E}, \widehat{F}$ cùng nhìn cạnh $AH$

$\Rightarrow AH$ là đường kính đường tròn ngọa tiếp $AEHF$

$\Rightarrow K$ là trung điểm $AH$

$\Rightarrow A,E,H,F$ cùng thuộc $\left(K;\dfrac{AH}{2}\right)$

d) Ta có: $KE = KH = \dfrac{AH}{2}$

$\Rightarrow ΔKEH$ cân tại $K$

$\Rightarrow \widehat{KEH} = \widehat{KHE}$

Ta lại có:

$\widehat{KHE} = \widehat{AHE} = \widehat{AFE}$ (cùng nhìn cạnh $AE$)

$\widehat{AFE} = \widehat{EBC}$ (góc ngoài của tứ giác nội tiếp $BEFC$)

$\Rightarrow \widehat{KEH} = \widehat{EBC}$

Mặt khác:

$OE = OC = R$

$\Rightarrow ΔOEC$ cân tại $O$

$\Rightarrow \widehat{OEC} = \widehat{OCE} = \widehat{BCE}$

mà $\widehat{BCE} + \widehat{EBC} = 90^o$

nên $\widehat{OEC} + \widehat{EBC} = 90^o$

hay $\widehat{OEC} + \widehat{KEH} = \widehat{KEO} = 90^o$

$\Rightarrow KE\perp OE$