1/

`a-b=6`

`→(a-b)^2=36`

`→a^2-2ab+b^2=36`

`→a^2+2ab+b^2=36+4ab`

`→(a+b)^2=36+4.16`

`→(a+b)^2=100`

`→a+b=±10`

`→`\(\left[ \begin{array}{l}\begin{cases}
a-b=6 \\
a+b=10 \\
\end{cases}\\\begin{cases}
a-b=6 \\
a+b=-10 \\
\end{cases}\end{array} \right.\)

`→`\(\left[ \begin{array}{l}\begin{cases} a-b=6 \\ a-b+a+b=2a=6+10=16 \\ \end{cases}\\\begin{cases} a-b=6 \\ a-b+a+b=2a=6+(-10)=-4 \\ \end{cases}\end{array} \right.\)

`→`\(\left[ \begin{array}{l}\begin{cases} a=8 \\ b=2 \\ \end{cases}\\\begin{cases} a=-2 \\ b=-8 \\ \end{cases}\end{array} \right.\)

Với `a=8;b=2`

`→`\begin{cases} a^2+b^2=2^2+8^2=68 \\ a^3+b^3=2^3+8^3=520\\ a^4+b^4=2^4+8^4=4112 \end{cases}

Với `a=-2;b=-8`

`→`\begin{cases} a^2+b^2=(-2)^2+(-8)^2=68 \\ a^3+b^3=(-2)^3+(-8)^3=-520\\ a^4+b^4=(-2)^4+(-8)^4=4112 \end{cases}

2/

`(ax+by)^2≤(a^2+b^2)(x^2+y^2)`

`→(ax)^2+2axby+(by)^2≤(ax)^2+(bx)^2+(ay)^2+(by)^2`

`→2axby≤(bx)^2+(ay)^2`

`→(bx)^2-2axby+(ay)^2≥0`

`→(bx+ay)^2≥0`

`→BDT` được chứng minh

Dấu `=` xảy ra khi `bx=ay` hay `x/a=y/b`

 

$\begin{array}{l}1a)\,\, a^2 + b^2\\ = (a - b)^2 + 2ab\\ = 6^2 + 2.16 = 68\\ b)\,Ta\,\,có:\\ a^2 + b^2 = 68\\ \Leftrightarrow a^2 + 2ab + b^2 = 68 + 2ab\\ \Leftrightarrow (a+b)^2 = 68 + 2.16 = 100\\ \Leftrightarrow a + b = 10\\ Ta\,\,được:\\ a^3 + b^3\\ = (a+b)^3 - 3ab(a+ b)\\ = 10^3 - 3.16.10 = 520\\ c)\,\,a^4 + b^4\\ = a^4 + 2a^2b^2 + b^4 - 2a^2b^2\\ = (a^2 + b^2)^2 - 2(ab)^2\\ = 68^2 - 2.16^2 = 4112\\ 2) \,\,(ax + by)^2 \leq (a^2 + b^2)(x^2 + y^2)\\ \Leftrightarrow a^2x^2 + 2axby + b^2y^2 \leq a^2x^2 + a^2y^2 + b^2x^2 + b^2y^2\\ \Leftrightarrow a^2y^2 - 2ayby + b^2x^2 \geq 0\\ \Leftrightarrow (ay - bx)^2 \geq 0 \quad \text{(luôn đúng)}\\ \text{Dấu = xảy ra} \,\Leftrightarrow ay - bx = 0 \Leftrightarrow \dfrac{a}{x} = \dfrac{b}{y} \end{array}$