Xem hình...

a) Ta có:

$\widehat{ABM} = \widehat{ACM} = 90^o$ (cùng nhìn đường kính $AM$)

$\Rightarrow AB\perp BM; \, AC\perp CM$

Ta lại có:

$CH\perp AC \, (CF\perp AC)$

$BH\perp AB\, (BE\perp AB)$

$\Rightarrow BM//CH; \, CM//BH$

$\Rightarrow BHCM$ là hình bình hành

b) Ta có: $BHCM$ là hình bình hành (câu a)

$I$ là trung điểm đường chéo $BC$ $(gt)$

$\Rightarrow I$ là trung điểm đường chéo $HM$

$\Rightarrow H,I,M$ thẳng hàng

$\Rightarrow HI = IM$

Ta lại có:

$OA = OM = R$

$\Rightarrow OI$ là đường trung bình của $ΔAHM$

$\Rightarrow OI//AH;\, AH = 2OI$

mà $AH\perp BC$

$\Rightarrow OI\perp BC$

c) Xét $ΔAHG$ và $ΔIOG$ có:

$\widehat{HAG} = \widehat{OIG}$ (so le trong)

$\dfrac{AH}{OI} = \dfrac{AG}{IG} = 2$ (tính chất trọng tâm)

Do đó $ΔAHG\sim ΔIOG \, (c.g.c)$

$\Rightarrow \widehat{AGH} = \widehat{OGI}$

mà $A,G,M$ thẳng hàng

nên $H,G,O$ thẳng hàng

d) Ta có: $ΔAHG\sim ΔIOG$ (câu c)

$\Rightarrow \dfrac{HG}{OG} = \dfrac{AH}{OI} = 2$

$\Rightarrow HG = 2OG$

$\Rightarrow S_{AGH} = 2S_{AGO}$