Giải thích các bước giải:

a.Ta có: $AD\perp BC\to \Delta ADB$ vuông tại $D$

Mà $\hat B=60^o$

$\to \Delta ABD$ là nửa tam giác đều

$\to BD=\dfrac12AB=2, AD=\dfrac{AB\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$

Lại có $\Delta ADC$ vuông tại $D,\hat C=45^o\to\Delta ADC$ vuông cân tại $D$

$\to DC=DA=2\sqrt{3}, AC=AD\sqrt{2}=2\sqrt{6}$

$\to BC=BD+DC=(2+2\sqrt{6})$

$\to S_{ABC}=\dfrac12\cdot AD\cdot BC=\dfrac12\cdot 2\sqrt{6}\cdot (2+2\sqrt{6})=2\sqrt{6}+12$

b.Ta có: $\Delta BCE$ vuông tại $E,\hat B=60^o$

$\to \Delta BCE$ là nửa tam giác đều

$\to S_{BCE}=\dfrac12\cdot \dfrac{BC^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{7\sqrt{3}+6\sqrt{2}}{2}$

$\to S_{BDE}=\dfrac{BD}{BC}\cdot S_{BCE}=\dfrac{\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{2}$

c.Ta có $\Delta ADC$ vuông cân tại $D,DH\perp AC$

$\to H$ là trung điểm $AC\to AH=HC=\dfrac12AC=\sqrt{6}$

Vì $\Delta BCE$ là nửa tam giác đều

$\to BE=\dfrac12BC=1+\sqrt{6}$

$\to AE=AB-BE=4-(1+\sqrt{6})=3-\sqrt{6}$

Lại có $\Delta AEC$ vuông tại $E,EK\perp AC$

$\to AE^2=AK.AC$

$\to AK=\dfrac{AE^2}{AC}=\dfrac{(3-\sqrt{6})^2}{2\sqrt{6}}$