Giải thích các bước giải:

a,

Tam giác ABC vuông tại A nên  \(\widehat {BAC} = 90^\circ \)

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}
HD \bot AB\\
HE \bot AC
\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {HDA} = \widehat {HEA} = 90^\circ \)

Tứ giác ADHE có \(\widehat A = \widehat D = \widehat E = 90^\circ \) do đó, tứ giác ADHE là hình chữ nhật.

b,

DM là đường trung tuyến trong tam giác vuông BDH nên \(DM = \frac{1}{2}BH = BM = MH\). Suy ra tam giác BDM cân tại M. Do đó, \(\widehat {BMD} = 180^\circ  - 2\widehat B\)

Tương tự ta cũng có tam giác HEN cân tại N hay \(\widehat {ENH} = 180^\circ  - 2\widehat {EHN}\)

\(HE \bot AC \Rightarrow HE//AB \Rightarrow \widehat {ABH} = \widehat {EHN}\) (2 góc đồng vị)

Do đó, \(\widehat {BMD} = \widehat {EHN} \Rightarrow DM//EN\)

Vậy DMNE là hình thang

c,

Tam giác ABC cân tại A nên H là trung điểm BC.

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}
HD \bot AB\\
AC \bot AB
\end{array} \right. \Rightarrow HD//AC\)

Mặt khác H là trung điểm BC nên HD là đường trung bình trong tam giác ABC hay D là trung điểm AB.

Tương tự, E là trung điểm AC

Mà AB = AC nên AD = AE hay ADHE là hình vuông.

d,

DE là đường trung bình trong tam giác ABC nên DE//BC//MN

Mà DM//EN

Do đó, DMNE là hình bình hành.