Đáp án:

a) $BC=5cm$

b) $\triangle ABK=\triangle IBK$

c) AI là phân giác của $\widehat{HAC}$

d) $\triangle AKE$ cân tại A

Giải thích các bước giải:

a)

$\triangle ABC$ vuông tại A:

$AB^2+AC^2=BC^2$ (định lý Pytago)

$\to BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5(cm)$

b)

Xét $\triangle ABK$ và $\triangle IBK$:

$BA=BI$ (gt)

$\widehat{ABK}=\widehat{IBK}$ (gt)

$BK$: chung

$\to\triangle ABK=\triangle IBK$ (c.g.c)

$\to\widehat{BAK}=\widehat{BIK}$ (2 góc tương ứng)

Ta có: $\widehat{BAK}=90^o\,\,\,(AB\bot AC)$

$\to\widehat{BIK}=90^o\\\to KI\bot BC$

c)

Ta có: $AH\bot BC$ (gt), $KI\bot BC$ (cmt)

$\to AH//KI\\\to\widehat{HAI}=\widehat{AIK}$ (so le trong)

$\triangle ABK=\triangle IBK$ (cmt)

$\to KA=KI$ (2 cạnh tương ứng)

$\to\triangle KAI$ cân tại K

$\to\widehat{AIK}=\widehat{IAK}$ (2 góc ở đáy)

$\to\widehat{HAI}=\widehat{IAK}$

$\to$ AI là phân giác của $\widehat{HAC}$

d)

Xét $\triangle BEH$ vuông tại H:

$\widehat{EBH}+\widehat{BEH}=90^o$ (2 góc phụ nhau)

$\to\widehat{ABK}+\widehat{BEH}=90^o$

$\triangle ABK$ vuông tại A:

$\widehat{ABK}+\widehat{AKB}=90^o$ (2 góc phụ nhau)

$\to\widehat{BEH}=\widehat{AKB}$

Mà $\widehat{BEH}=\widehat{AEK}$ (đối đỉnh)

$\to\widehat{AEK}=\widehat{AKB}$

Hay $\widehat{AEK}=\widehat{AKE}$

$\to\triangle AKE$ cân tại A