$GT$ $\triangle ABC $ cân tại $A$ $(\widehat{A} < 90^o)$ ;$BD \bot AC$ ; $CE \bot AB $

          $ BD \cap CE =\begin{cases}\\\\\end{cases}I\left.\begin{matrix}\\\\\end{matrix}\right\} $

$KL$  $\triangle ABD =$$\triangle ACE $

          $AI$ là phân giác của $\widehat{BAC}$

          $IB >\dfrac{BC }{?}$

Chứng minh : 

  $a)$ Có : $\triangle ABC $ cân tại $A$ ( gt ) $\Rightarrow$ $\begin{cases} \widehat{B}=\widehat{C}\\AB=AC\end{cases}$ 

 Có : $CE \bot AB $ ( gt) $\Rightarrow $ $\widehat{CEB}=$$\widehat{CEA}=90^o$

        $BD \bot AC $ ( gt) $\Rightarrow $ $\widehat{BDC}=$$\widehat{BDA}=90^o$

Xét $\triangle ABD $ và $\triangle AEC $ có : 

$+)$ $\widehat{CEA}$=$\widehat{BDA}$$=90^o$ (cmt)

$+)$ $AB=AC$ ( gt)

$+)$ $\widehat{A}$ chung 

$\Rightarrow$ $\triangle ABD =$$\triangle ACE $ ( cạnh huyền - góc nhọn )

$b)$ Xét $\triangle BEC $ và $\triangle BDC $ có :

$+)$ $\widehat{B}=$$\widehat{C}$ ( cmt)

$+)$ $\widehat{BEC}=$$\widehat{BDC}=90^o $ (cmt)

$+)$ $BC$ là cạnh chung 

$\Rightarrow $ $\triangle BEC=$$\triangle CDB $ ( canh huyền - góc nhọn )

$\Rightarrow$ $\widehat{DBC}=$$\widehat{ECB} $ ( 2 góc tương ứng )

Có : $\widehat{B}=$$\widehat{C}$ ( cmt)

        $\widehat{DBC}=$$\widehat{ECB}$ ( cmt) 

$\Rightarrow$ $\widehat{B} -$$\widehat{DBC}=$ $\widehat{C}-$$\widehat{ECB}$

$\Rightarrow$ $\widehat{ABD}=$$\widehat{ACE}$

Có : $\widehat{ABD}=$$\widehat{ACE}$ hay $\widehat{IBC}=$$\widehat{ICB}$

$\Rightarrow$ $\triangle IBC $ cân tại $I$

$\Rightarrow BI=IC$

Xét $\triangle ABI$ và $\triangle AIC $ có : 

$+)$ $BI=IC$ ( cmt) 

$+)$ $\widehat{ABD}=$$\widehat{ACE}$ ( cmt)

$+)$ $AB=AC$ ( gt)

$\Rightarrow$ $\triangle ABI=$$\triangle ACI $ ( c.g.c)

$\Rightarrow$ $\widehat{BAI}=$$\widehat{IAC}$ ( $2$ góc tương ứng )

$\Rightarrow AI $ là phân giác của $\widehat{BAC}$

$c)$ Gọi giao điểm của $AI$ và $BC$ là $ O$

Xét $\triangle ABO$ và $\triangle ACO $ có : 

$+)$ $AB=AC$ ( gt)

$+)$ $\widehat{BAI}=$$\widehat{IAC}$ ( cmt) hay $\widehat{BAO}=$$\widehat{OAC}$

$+)$ $AO$ là cạnh chung 

$\Rightarrow$ $\triangle ABO =$$\triangle ACO $ ( c.g.c)

$\Rightarrow$ $\widehat{BOA}=$ $\widehat{COA}$ ( $2$ góc tương ứng )

Mà $\widehat{BOA}+$ $\widehat{COA}=180^o$ ( $2$ góc kề bù )

$\Rightarrow$ $\widehat{BOA}=$ $\widehat{COA}= 90^o$

$\Rightarrow$ $\triangle BOI$ vuông tại $ O$

$\Rightarrow BI > BO $ ( cạnh huyền > cạnh góc vuông) ( trong tam giác vuông cạnh huyền là cnhj lớn nhất )    $ (1)$ 

Có : $\triangle ABO =$$\triangle ACO $ ( cmt)

$\Rightarrow BO = OC $ ( $2$ cạnh tương ứng )

$\Rightarrow O$ là trung điểm của $BC$

$\Rightarrow$ $BO=OC=\dfrac{BC}{2}$   $ (2)$ 

Từ $(1)$ và $(2) $

$\Rightarrow$ $BI > \dfrac{BC}{2}$ ( đpcm)