Giải thích các bước giải:

a, Ta có: AB ║ HK; AH ║ BK (cùng vuông góc với CD)

⇒ ABHK là hình bình hành 

Mà $\widehat{AHK}$ = $90^{o}$

⇒ ABHK là hình chữ nhật (đpcm)

b, Xét ΔAMB và ΔEMC có:

AB = EC (giả thiết); BM = CM (giả thiết); $\widehat{ABM}$ = $\widehat{ECM}$ (do AB║ CD)

⇒ ΔAMB = ΔEMC ⇒ AM = EM hay $\frac{AM}{EM}$ = 1

Ta có: AB ║ CE và $\frac{AB}{CE}$ = $\frac{BM}{CM}$ = $\frac{AM}{EM}$ = 1

⇒ A, M, E thẳng hàng (đpcm)

c, ABCD là hình thang cân có 2 đáy AB, CD ⇒ AD = BC

Ta có: BC = AD = $\sqrt[]{AH^{2}+DH^{2}}$ = $\sqrt[]{12^{2}+5^{2}}$ = 13 (cm)

ΔBKC vuông tại K có KM là trung tuyến ứng với cạnh huyền

⇒ KM = BC : 2 = 13 : 2 = 6.5 (cm)

d, Xét 2 tam giác vuông ΔAHD và ΔBKC có:

AH = BK (ABKH là hình chữ nhật); AD = BC (giả thiết)

⇒ ΔAHD = ΔBKC (ch-cgv) ⇒ DH = CK

Mà HK = AB = CE

⇒ DH + HK = CK + CE ⇒ DK = KE ⇒ K là trung điểm của DE

ΔEAD có: K là trung điểm của DE; M là trung điểm của AE

⇒ KM là đường trung bình ⇒ AD = 2.KM và AD ║ KM

AD ║ KM ⇒ $\frac{AI}{KI}$ = $\frac{AD}{KM}$ = 2 

⇒ AI = 2.KI (đpcm)