Giải thích các bước giải:

ΔABC cân tại A ⇒ AB = AC và $\widehat{ABC}$ = $\widehat{ACB}$

E, F là trung điểm của AC, AB

⇒ EF là đường trung bình của ΔABC và AE = EC = AF = FB

⇒ EF ║ BC và EF = $\frac{1}{2}$.BC 

D là trung điểm của BC ⇒ BD = DC = EF = $\frac{1}{2}$.BC

a, Tứ giác BCEF có BC ║ EF ⇒ BCEF là hình thang

Mà $\widehat{FBC}$ = $\widehat{ECB}$

⇒ BCEF là hình thang cân (2 góc kề 1 cạnh đáy bằng nhau) (đpcm)

Tứ giác BDEF có: EF ║ BD và EF = BD ⇒ BDEF là hình bình hành (đpcm)

b, ΔGMN có E là trung điểm của GN, F là trung điểm của GM

⇒ EF là đường trung bình ⇒ EF ║ MN và MN = 2.EF

Tứ giác BCNM có: MN = BC (= 2EF) và MN ║ BC (║EF)

⇒ BCNM là hình bình hành (1)

G là giao 2 đường chéo của hình thang cân BCEF ⇒ GE = GF

Ta có ΔAGF = ΔAGE (c.c.c) ⇒ $\widehat{GAF}$ = $\widehat{GAE}$

⇒ AG là phân giác của $\widehat{BAC}$ 

Mà ΔABC cân tại A ⇒ AG cũng là đường cao hay AG ⊥ BC

ΔAMF và ΔBGF có:

$\widehat{AFM}$ = $\widehat{BFG}$ (đối đỉnh); MF = GF (giả thiết); AF = BF (giả thiết)

⇒ ΔAMF = ΔBGF (c.g.c) ⇒ AM ║ BG và AM = BG

⇒ AMBG là hình bình hành

⇒ BM ║ AG mà AG ⊥ BC ⇒ BM ⊥ BC (2)

Từ (1) và (2) suy ra BCNM là hình chữ nhật (đpcm)

BCNM là hình chữ nhật có G là giao 2 đường chéo ⇒ GM = GB = GN = GC

mà AM = BG và chứng minh tương tự như trên ta có AN = GN

⇒ AM = AN = GM = GN

⇒ AMGN là hình thoi (đpcm)

c, AMGN là hình thoi ⇒ AM ║ BN ⇒ AMBN là hình thang (đpcm)

Để AMBN là hình thang cân thì MN = AB mà MN = BC (do BCNM là hình chữ nhật)

⇒ AB = BC ⇔ ΔABC đều