Bài 1:

ĐK: $x \geq 3$.

Đặt $a = \sqrt{x-3}, b = \sqrt{x+2}; a, b \geq 0$. Khi đó

$$\sqrt{x^2 -x -6} = \sqrt{(x-3)(x+2)} = ab$$

Thay vào ptrinh ta có

$$ab -2a + b-2 = 0$$

$$ a(b-2) + (b-2) = 0$$

$$ (a+1)(b-2) = 0$$

Vậy $b = 2$ hoặc $a =-1$ (loại do $a \geq 0$).

Khi đó, ta có

$$\sqrt{x+2} = 2$$

Suy ra $x = 2$ (loại do ko thỏa mãn đk).

Vậy ptrinh vô nghiệm

Bài 2

ĐK: $x \geq 0$

Ta có

$$B =x+ 4\sqrt{x} + 5 = (\sqrt{x})^2 + 4\sqrt{x} + 4 + 1 = (\sqrt{x} + 2)^2 + 1$$

Dễ thấy rằng B là một hàm đồng biến theo $x$. Thật vậy, giả sử ta có $0 \leq x_1

$$B(x_1) - B(x_2) = (\sqrt{x_1} - \sqrt{x_2})(\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2} + 4)$$

Lại có $x_1 0$ nên ta có

$$B(x_1) - B(x_2)

Vậy B min khi x min hay B min khi x = 0.

Bài 3

a) Xét tam giác vuông ACN có $BC \perp AN$, áp dụng hệ thức lượng ta có

$$AB. AN = AC^2$$

Tương tự ta cũng có

$$AD.AM = AC^2$$

Vậy

$$AB. AN = AD.AM (= AC^2)$$

b) Áp dụng Pytago trong tam giác vuông ADC ta có

$$AC^2 = AD^2 + CD^2 = 3^2 + 4^2 = 25$$

Vậy $AC = 5$. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ACM ta có

$$AD.AM = AC^2 25 = AD(AD + DM) 25 = 3(3 + DM)$$

Giải hệ ta có

$$DM = \dfrac{16}{3}$$

Ta có $\widehat{AMN} = \widehat{BAC}$ (cùng phụ $\widehat{CAM}$)

Lại có

$$\tan(\widehat{BAC}) = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{3}{4}$$

Do đó

$$\widehat{BAC} = arctan(\dfrac{3}{4})$$

Vậy

$$\widehat{AMN} = arctan(\dfrac{3}{4})$$

Đáp án:

Giải thích các bước giải: Bài 2 :Tìm x để B=x+(4 √x) + 5 đạt giá trị nhỏ nhất B=x+(4 √x) + 5 = √x ²+ 2.2. √x+2 ²+1=( √x+2) ²+1

mà ( √x+2) ² ≥0 ∀x ∈R (vì bình phương mọi số đều không âm)

⇔( √x+2) ²+1 ≥1

vậy MinB=1 ⇔√x+2=0 ⇔ √x=-2( vô lí)

⇒do đó không có giá trị nào của x để B đạt giá trị nhỏ nhất.