a) Gọi $M=AB\cap ED$, $n=AC\cap DF$

Xét $\Delta EDF$ ta có:

$M$ là trung điểm cạnh $ED$

$N$ là trung điểm cạnh $DF$

$\Rightarrow MN$ là đường trung bình của $\Delta EDF$

$\Rightarrow MN\parallel=\dfrac{1}{2}EF$ (1)

$\Delta ADE$ có $AM$ vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao

$\Rightarrow \Delta ADE$ cân đỉnh $A\Rightarrow AE=AD$

$\Delta ADF$ có $AN$ vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao

$\Rightarrow \Delta ADF$ cân đỉnh $A\Rightarrow AF=AD$

$\Rightarrow AE=AF\Rightarrow \dfrac{1}{2}.EF=AE=AF$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow E, A, F$ thẳng hàng $E$ đối xứng với $F$ qua $A$.

b) $\Delta BED$ có $BM$ vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao

$\Rightarrow \Delta BED$ cân đỉnh $B\Rightarrow \widehat{E_1}=\widehat{D_1}$

$\Delta CDF$ có $CN$ vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao

$\Rightarrow \Delta CDF$ cân đỉnh $C\Rightarrow \widehat{E_2}=\widehat{D_2}$

$\widehat{E_2}=\widehat{D_3}$ (do $\Delta ADE$ cân đỉnh $A$)

$\widehat{F_1}=\widehat{D_4}$ (do $\Delta ADF$ cân đỉnh $A$)

Ta có: $\widehat{BEF}+\widehat{EFC}=\widehat{E_1}+\widehat{E_2}+\widehat{F_1}+\widehat{F_2}=\widehat{D_1}+\widehat{D_3}+\widehat{D_4}+\widehat{D_2}=180^o$

Suy ra $\widehat{BEF}$ và $\widehat{EFC}$ bù nhau mà chúng ở vị trí trong cùng phía

$\Rightarrow EB\parallel FC$

c) Ta có: $EF=EA+AF=AD+AD=2AD$

$\Rightarrow EF$ nhỏ nhất khi $AD$ nhỏ nhất

$\Rightarrow D$ là hình chiếu của $A$ lên $BC$

hay $AD\bot BC$.

a) Gọi DE cắt AB tại M, DF cắt AC tại N. Do E đối xứng với D qua AB và F đối xứng vs D qua AC nên ta có $$\begin{cases} DM = ME\\ DE \perp AB \end{cases}$$ và $$\begin{cases} DN = NF\\ DF \perp AC \end{cases}$$ Xét tam giác ADE có AM là đường trung tuyến đồng thời là đường cao nên tam giác ADE cân tại A. Vậy AD = AE. CMTT, ta cx có tam giác ADF cân tại A nên AD = AF. Vậy AE = AF(=AD). Do M là trung điêm DE nên DM = ME. Lại có DE// AN (cùng vuông góc với AB) Do đó, tứ giác ANME là hình bình hành nên NM//AE. CMTT ta cx suy ra FAMN là hình bình hành nên MN//AF. Vậy qua A ta kẻ đc AE và AF cùng song song vs MN. Mặt khác, theo tiên đề Euclid thì qua A chỉ kẻ đ duy nhát 1 đường thẳng song song vs MN. Vậy A, E, F thẳng hàng. Lại có AE = AF. Do đó A là trung điểm EF. b) Do tam giác ADE cân tại A và AM là đường trung tuyến nên nó cũng là phân giác của $\widehat{DAE}$. Vậy $\widehat{DAB} = \widehat{BAE}$. Xét tam giác ADB và tam giác AEB có $$\begin{cases} AD = AE (CMT)\\ \widehat{DAB} = \widehat{BAE}\\ AB \, chung \end{cases}$$ Vậy ta có $\triangle ADB = \triangle AEB$ (c.g.c) Do đó $\widehat{ABD} = \widehat{ABE}$ CMTT ta cũng có $\triangle AFC = \triangle ADC$, suy ra $\widehat{ACF} = \widehat{ACD}$. Ta xét \begin{align*} \widehat{FCB} + \widehat{EBC} &= \widehat{FCA} + \widehat{ACD} + \widehat{EBA} + \widehat{ABC}\\ &= 2 \widehat{ACB} + 2\widehat{ABC}\\ &= 2( \widehat{ACB} + \widehat{ABC})\\ &= 2.90^{\circ} = 180^{\circ} \end{align*} Mà hai góc $\widehat{FCB}$ và $\widehat{EBC}$ nằm ở vị trí trong cùng phía, nên suy ra EB//CF. c) Theo Câu a), ta có $$EF = AE + AF = AD + AD = 2AD$$ Vậy để EF có độ dài ngắn nhất thì AD phải có độ dài ngắn nhất. Theo định lý về hình chiếu và đường xiên thì AD ngắn nhất khi $AD \perp BC$, hay D là chân đường cao hạ từ A xuống BC.