Đáp án:

a) $\triangle ACM=\triangle ABN$, $\triangle AMN$ cân tại A

b) $IK//BC$

c) AH là trung trực của MN

Giải thích các bước giải:

a)

$\triangle ABC$ cân tại A

$\to\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ (2 góc ở đáy)

$\widehat{ABC}+\widehat{ABN}=180^o$ (kề bù)

$\widehat{ACB}+\widehat{ACM}=180^o$ (kề bù(

$\to\widehat{ABN}=\widehat{ACM}$

Xét $\triangle ACM$ và $\triangle ABN$:

$AB=AC$ (2 cạnh bên của tam giác cân)

$\widehat{ACM}=\widehat{ABN}$ (cmt)

$CM=BN$ (gt)

$\to\triangle ACM=\triangle ABN$ (c.g.c)

$\to AM=AN$ (2 cạnh tương ứng)

$\to\triangle AMN$ cân tại A

b)

$\triangle ACM=\triangle ABN$ (cmt)

$\to\widehat{MAC}=\widehat{NAB}$ (2 góc tương ứng)

Xét $\triangle AIB$ và $\triangle AKC$:

$\widehat{AIB}=\widehat{AKC}\,\,\,(=90^o)$

$AB=AC$ (2 cạnh bên của tam giác cân)

$\widehat{IAB}=\widehat{KAC}$ (cmt)

$\to\triangle AIB=\triangle AKC$ (ch - gn)

$\to AI=AK$ (2 cạnh tương ứng)

$\to\triangle AIK$ cân tại A

$\to\widehat{AIK}=\widehat{AKI}$ (2 góc ở đáy)

$\widehat{IAK}+\widehat{AIK}+\widehat{AKI}=180^o$ (tổng 3 góc trong tam giác)

$\to\widehat{IAK}+2\widehat{AIK}=180^o$ (1)

$\triangle AMN$ cân tại A (cmt)

$\to\widehat{ANM}=\widehat{AMN}$ (2 góc ở đáy)

$\widehat{NAM}+\widehat{ANM}+\widehat{AMN}=180^o$ (tổng 3 góc trong tam giác)

$\to\widehat{NAM}+2\widehat{ANM}=180^o$ (2)$

Từ (1), (2) $\to\widehat{AIK}=\widehat{ANM}$

Mà 2 góc này nằm ở vị trí đồng vị

$\to IK//NM\\\to IK//BC$

c)

$\triangle ABC$ cân tại A có đường trung tuyến AH (gt)

$\to$ AH đồng thời là đường cao

$\to AH\bot BC\\\to AH\bot NM$

$\triangle AMN$ cân tại A có đường cao AH (cmt)

$\to$ AH đồng thời là đường trung trực

$\to$ AH là trung trực của MN