Gọi $n(S_i)$ là số số hạng của $S_i$. Ví dụ

$$n(S_1) = 2, n(S_2) = 3, n(S_3) = 4$$

Khi đó, số số hạng từ $S_1$ đến $S_{99}$ là

$$n(S_1) + n(S_2) + \cdots + n(S_{99}) = 2 + 3 + \cdots + 99$$

Xét tổng

$$S = 2 + 3 + \cdots + 99$$

Lấy số đầu cộng số cuối ta được 101. Vậy cứ lấy 2+99, 3 + 98, \dots, ta đều được 101. Hơn nữa, tổng này có 98 số hạng. Do đó

$$S = 101.\dfrac{98}{2} = 4949$$

Vậy số hạng cuối cùng của $S_{99}$ là 4949.

Do đó, số hạng bắt đầu của $S_{100}$ là 4950. Hơn nữa, để ý rằng $n(S_i) = i+1$, do đó $n(S_{100}) = 101$. Vậy

$$S_{100} = 4950 + 4951 + \cdots + 5050$$

Tương tự cách tính tổng ở trên, ta có

$$S_{100} = 505000$$

Đáp án:

Giải thích các bước giải: \[\begin{array}{l} {S_1} = 1 + 2;\\ {S_2} = 3 + 4 + 5;\\ {S_3} = 6 + 7 + 8 + 9; \end{array}\] Nhận xét : - Số hạng đầu tiên của \({S_2}\) hơn số hạng đầu tiên của \({S_1}\) là 2 đơn vị. - Số hạng đầu tiên của \({S_3}\) hơn số hạng đầu tiên của \({S_2}\) là 3 đơn vị. - Số hạng đầu tiên của \({S_4}\) hơn số hạng đầu tiên của \({S_3}\) là 4 đơn vị. ... - Số hạng đầu tiên của \({S_{100}}\) hơn số hạng đầu tiên của \({S_{99}}\) là 100 đơn vị. Vậy số đầu tiên của \({S_{100}}\) hơn số hạng đầu tiên của \({S_1}\) số đơn vị là : 2 + 3 + 4 + ...+ 100 = (2+100) x 99 : 2 = 5049 Số hạng đầu tiên của \({S_{100}}\) là : 1 + 5049 = 5050 Mà ta thấy \({S_1}\) có hai số hạng; \({S_2}\) có 3 số hạng; \({S_3}\) có 4 số hạng... nên \({S_{100}}\) có 101 số hạng. Số hạng cuối cùng của \({S_{100}}\) là : 5050 + (101 -1).1= 5150 Ta có : \({S_{100}} = 5050 + 5051 + 5052 + ... + 5150 = \left( {5050 + 5150} \right) \times 100:2 = 515100\)