`a)N=-x^2+2x+3`

`=-(x^2-2x+3)`

`=-(x^2-2x+1)-2`

`=-(x-1)^2-2`

Mà `(x-1)^2>=0∀x`

`=>-(x-1)^2-2<=-2∀x`

Dấu "=" xảy ra khi:

`x-1=0`

`=>x=1`

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức N là `-2` khi `x=1`

`b)P=(5-3x)/(x+3)` với điều kiện `xne-3`

`=(14-9-3x)/(x+3)`

`=14/(x+3)+(-9-3x)/(x+3)`

`=14/(x+3)+((-3)(3+x))/(x+3)`

`=14/(x+3)+((-3)(x+3))/(x+3)`

`=14/(x+3)+(-3)`

`=14/(x+3)-3`

Để `P` nguyên

`=>14vdotsx+3`

`=>x+3` là `Ư{14}`

`=>x+3={+-1;+-2;+7;+-14}`

`=>x={-2;-4;-1;-5;4;-10;11;-17}`

Thay các giá trị vào với điều kiện `P>=0`, ta có:

`=(5-3.(-2))/((-2)+3)=11`

`=>` Nhận

`=(5-3.(-4))/((42)+3)=-17`

`=>` Loại

`=(5-3.(-1))/((-1)+3)=4`

`=>` Nhận

`=(5-3.(-5))/((-5)+3)=-10`

`=>` Loại

`=(5-3.4)/(4+3)=-1`

`=>` Loại

`=(5-3.(-10))/((-10)+3)=-5`

`=>` Loại

`=(5-3.11)/(11+3)=-2`

`=>` Loại

`=(5-3.(-17))/((-17)+3)=-4`

`=>` Loại

Vậy `x=-2;-1` thì `P∈mathbb{N}`

Lưu ý:

Điều kiện của `P` là `xne-3` chứ không phải `xne+-3`

Giải thích:

`x+3ne0`

`=>xne-3.`