Đáp án:

$d(A;(SBC))=\dfrac{2\sqrt{21}}{7}$

Giải thích các bước giải:

Ta có:

$ABCD$ là hình thoi

$\Rightarrow AB = BC = CD = DA$

mà $AB = AC = 2$

nên $∆ABC$ đều cạnh $2$

Gọi $M$ là trung điểm $BC$

$\Rightarrow AM\perp BC$

$\Rightarrow AM = \dfrac{AB\sqrt3}{2} = \sqrt3$

Mặt khác:

$SA\perp (ABCD)$

$\Rightarrow \widehat{(SC;(ABCD))} = \widehat{SCA} = 45^o$

$\Rightarrow SA = AC\tan45^o = 2$

Ta lại có: $∆SAC= ∆SAB\, (c.g.c)$

$\Rightarrow SB  = SC$

$\Rightarrow ∆SBC$ cân tại $S$

Lại có: $M$ là trung điểm $BC$

$\Rightarrow SM\perp BC$

Ta có:

$SM\perp BC$

$AM\perp BC$

$\Rightarrow BC\perp (SAM)$

Từ $A$ kẻ $AH\perp SM$

mà $AH\subset (SAM)$

nên $BC\perp AH$

$\Rightarrow AH\perp (SBC)$

$\Rightarrow AH = d(A;(SBC))$

Áp dụng hệ thức lượng trong $∆SAM$ vuông tại $A$ đường cao $AH$ ta được:

$\dfrac{1}{AH^2} = \dfrac{1}{SA^2} + \dfrac{1}{AM^2}$

$\Rightarrow AH = \dfrac{SA.AM}{\sqrt{SA^2 + AM^2}} = \dfrac{2.\sqrt3}{\sqrt{4 + 3}} = \dfrac{2\sqrt{21}}{7}$