a) Ta có: $ΔABC$ vuông tại $A$

$\widehat{B} = 30^o$

$\Rightarrow \widehat{C} = 90^o - \widehat{B} = 90^o - 30^o = 60^o$

Ta cũng có:

$\cos\widehat{B} = \dfrac{AB}{BC}$

$\Rightarrow BC = \dfrac{AB}{\cos\widehat{B}} = \dfrac{6}{\cos30^o} = 4\sqrt3 \, cm$

$\sin\widehat{B} = \dfrac{AC}{BC}$

$\Rightarrow AC = BC.\sin\widehat{B} = 4\sqrt3.\sin30^o = 2\sqrt3 \, cm$

b) Ta có: $AM$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền $BC$

$\Rightarrow MA = MB=  MC = \dfrac{1}{2}BC = 2\sqrt3 \, cm$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được:

$+) \quad AB^2 = BH.BC$

$\Rightarrow BH = \dfrac{AB^2}{BC} = \dfrac{6^2}{4\sqrt3} = 3\sqrt3 \, cm$

$\Rightarrow HM = BH - BM = 3\sqrt3 - 2\sqrt3 = \sqrt3 \, cm$

$+) \quad AB.AC = BC.AH = 2S_{ABC}$

$\Rightarrow AH = \dfrac{AB.AC}{BC} = \dfrac{6.2\sqrt3}{4\sqrt3} = 3\, cm$

Ta được:

$S_{AHM} = \dfrac{1}{2}AH.HM = \dfrac{1}{2}\cdot 3\cdot \sqrt3 = \dfrac{3\sqrt3}{2} \, cm^2$

c) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được:

$AB.AE = AH^2$

$AC.AF = AH^2$

$\Rightarrow AB.AE + AC.AF = 2AH^2 = 2.3^2 = 18$