a) Ta có:

$CA, CM$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $A,M$

$\Rightarrow CA = CM$

Lại có: $OA = OM =R$

$\Rightarrow OC$ là trung trực của $AM$

$\Rightarrow OC$ là phân giác của $\widehat{AOM}$

$\Rightarrow \widehat{COM} = \dfrac{1}{2}\widehat{AOM}$

Chứng minh tương tự, ta được:

$\widehat{DOM} = \dfrac{1}{2}\widehat{BOM}$

$\Rightarrow \widehat{COD} = \widehat{COM} + \widehat{DOM} = \dfrac{1}{2}(\widehat{AOM} + \widehat{BOM}) = \dfrac{1}{2}.180^o = 90^o$

Vậy $\widehat{COD} = 90^o$

b) Như đã lập luận ở câu a. Ta có:

$CA, CM$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $A,M$

$\Rightarrow CA = CM$

$DB, DM$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $B,M$

$\Rightarrow DB = DM$

$\Rightarrow CM + DM = CA + DB$

$\Rightarrow CD = AC + BD$

c) Ta có:

$OM\perp CD$ ($CD$ là tiếp tuyến)

Áp dụng hệ thức lượng vào $ΔCOD$ vuông tại $O$ đường cao $OM$ ta được:

$OM^2 = CM.DM$

mà $CM = CA; \, DM = BD$

nên $OM^2 = AC.BD$

hay $R^2 = AC.BD$ (không đổi)

Vậy tích $AC.BD$ không đổi khi $M$ đi chuyển trên nửa đường tròn