`a)` Xét `ΔADE` và `ΔDCF` có:

`DC=AD` (tính chất hình vuông `ABCD`)

$\widehat{DAE}$ `=` $\widehat{DCF}$ `=` $90^o$

`AE=CF` (gt)

$\Rightarrow$ `ΔADE = ΔDCF` `(c.g.c)`

$\Rightarrow$ `DE=DF`

$\widehat{ADE}$ `=` $\widehat{CDF}$

Mà $\widehat{ADE}$ `+` $\widehat{EDC}$ `=` $90^o$ (tính chất hình vuông `ABCD`)

$\Rightarrow$ $\widehat{CDF}$ `+` $\widehat{EDC}$ `=` $\widehat{EDF}$ `=` $90^o$

Xét `ΔEDF` có 

$\widehat{EDF}$ `=` $90^o$

$\Rightarrow$ `ΔEDF` vuông tại `D`

Mà `DE=DF` (cmt)

$\Rightarrow$ `DEF` là tam giác vuông cân tại `D`

`b)` `ΔBEF` vuông tại `B`

`I` là trung điểm của `EF` (gt)

$\Rightarrow$ `BI =` $\dfrac{EF}{2}$

`ΔEDF` vuông tại `D`

`I` là trung điểm của `EF` (gt)

$\Rightarrow$ `DI=` $\dfrac{EF}{2}$

$\Rightarrow$ `BI=DI`

$\Rightarrow$ `I` thuộc đường trung trực của `BD`

Có `DC=CB` (tính chất hình vuông `ABCD`)

$\Rightarrow$ `C` thuộc đường trung trực của `BD` 

Có `O` là trung điểm `BD` (tính chất hình vuông `ABCD`)

$\Rightarrow$ `O` thuộc đường trung trực `BD`

$\Rightarrow$ `O,C,I` thẳng hàng