Giải thích các bước giải:

1.Vì $AB, AC$ là tiếp tuyến của $(O)\to BA\perp OB, AC\perp OC$

$\to \widehat{ABO}=\widehat{ACO}=90^o$

$\to ABOC$ nội tiếp đường tròn đường kính $AO$

2.Vì $AB,AC$ là tiếp tuyến của $(O)\to AO\perp BC=H\to \Delta AHB$ vuông tại $H$

$\to BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=6$

$\to \sin\widehat{BAO}=\sin\widehat{BAH}=\dfrac{BH}{AB}=\dfrac35$

      $\cos\widehat{BAO}=\cos\widehat{BAH}=\dfrac{AH}{AB}=\dfrac45$

      $\tan\widehat{BAO}=\dfrac{\sin\widehat{BAO}}{\cos\widehat{BAO}}=\dfrac34$

      $\cot\widehat{BAO}=\dfrac1{\tan\widehat{BAO}}=\dfrac43$

3.Vì $BM$ là đường kính của $(O)\to \widehat{BCM}=90^o=\widehat{ABO}$

Xét $\Delta ABO,\Delta BCM$ có:

$\widehat{ABO}=\widehat{BCM}(=90^o)$

$\widehat{BAO}=90^o-\widehat{BOA}=90^o-\widehat{BOH}=\widehat{HBO}=\widehat{CBM}$

$\to \Delta ABO\sim\Delta BCM(g.g)$

$\to \dfrac{OA}{BM}=\dfrac{BO}{CM}$

$\to OA\cdot CM=BM\cdot BO=2R\cdot R=2R^2$

4.Gọi $ON\cap AM=D$

Vì $MN$ là tiếp tuyến của $(O)\to MN\perp OM\to\Delta BMN$ vuông tại $M$

Mà $MC\perp BC$ do $BM$ là đường kính của $(O)$

$\to \widehat{ABM}=\widehat{OMN}=90^o$

Xét $\Delta AOB,\Delta BMN$ có:

$\widehat{ABO}=\widehat{BMN}(=90^o)$

$\widehat{AOB}=\dfrac12\widehat{BOC}=\widehat{BMC}=90^o-\widehat{CMN}=\widehat{CNM}=\widehat{BNM}$

$\to\Delta ABO\sim\Delta BMN(g.g)$

$\to \dfrac{AB}{BM}=\dfrac{BO}{MN}$

$\to \dfrac{AB}{BM}=\dfrac{OM}{MN}$

$\to \dfrac{AB}{OM}=\dfrac{BM}{MN}$

Do $\widehat{ABM}=\widehat{OMN}(=90^o)$

$\to \Delta ABM\sim\Delta OMN(c.g.c)$

$\to \widehat{AMB}=\widehat{ONM}$

$\to \widehat{OND}=\widehat{ONM}$

Do $\widehat{DOM}=\widehat{NOM}$

$\to\Delta ODM\sim\Delta OMN(g.g)$

$\to \widehat{DOM}=\widehat{OMN}=90^o$

$\to ON\perp AM$