Giải thích các bước giải:

Trong mặt phẳng (AA'C'C) , gọi  \(K = OF \cap AC\)

Trong mặt phẳng (ABCD), gọi \(I = EK \cap BC\)

\(\begin{array}{l}
K \in OF \Rightarrow K \in \left( {OFE} \right)\\
I \in EK \Rightarrow I \in \left( {OFE} \right)
\end{array}\)

Do đó, I là giao điểm của BC và mp(OFE)

Ta có:

ΔOC'F \( \sim \) ΔKCF (g.g)

\( \Rightarrow \frac{{CK}}{{OC'}} = \frac{{CF}}{{C'F}} = 1 \Rightarrow CK = OC' = \frac{1}{2}AC\)

Áp dụng định lý Mê - nê - na - uýt vào tam giác ABC có E, I, K thẳng hàng ta có:

\(\begin{array}{l}
\frac{{AE}}{{EB}}.\frac{{BI}}{{IC}}.\frac{{CK}}{{KA}} = 1\\
 \Leftrightarrow 1.\frac{{BI}}{{IC}}.\frac{1}{3} = 1\\
 \Leftrightarrow \frac{{BI}}{{IC}} = 3\\
 \Leftrightarrow \frac{{IC}}{{IB}} = \frac{1}{3}
\end{array}\)

* Xác định thiết diện của hình hộp khi cắt bởi mp(FOE):

Trong mp(ACC'A'), gọi \(M = FO \cap AA'\)

Trong mp(ABB'A'), Gọi \(N = ME \cap A'B'\)

Trong mp(A'B'C'D'), gọi \(P = NO \cap C'D'\)

Vậy thiết diện là tứ giác NPIE.