Giải thích các bước giải:

a) Ta có:

Hàm số: $y = 2{x^3} + 3{x^2} - 1$

+) TXĐ: $R$

+) Xét giới hạn: $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  + \infty $

$\to$ Hàm số không có tiệm cận ngang.

Lại có:

$y' = 6{x^2} + 6x \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow 6{x^2} + 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x =  - 1
\end{array} \right.$

Ta có BBT: (H1)

$\to$ Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right)$ và $\left( {0; + \infty } \right)$, hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { - 1;0} \right)$

Hàm số đạt cực đại tại điểm $x=-1$; giá trị cực đại của hàm số là: $y\left( { - 1} \right) = 0$.

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x=0$; giá trị cực tiểu của hàm số là: $y\left( 0 \right) =  - 1$

+) Giao điểm của đồ thị với trục tung là điểm: $(0;1)$

Ta có:

$y = 0 \Leftrightarrow 2{x^3} + 3{x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x =  - 1\\
x = \dfrac{1}{2}
\end{array} \right.$

Vậy giao điểm của đồ thị với trục hoành là 2 điểm $\left( { - 1;0} \right)$ và $\left( {\dfrac{1}{2};0} \right)$

+) Điểm uốn của đồ thị: 

$y = 12x + 6 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{{ - 1}}{2}$

$\to$ Điểm uốn của đồ thị là: $\left( {\dfrac{{ - 1}}{2};\dfrac{{ - 1}}{2}} \right)$

Ta có đồ thị hàm số: $y = 2{x^3} + 3{x^2} - 1$ (H2)

b) 

+) Tiếp tuyến tại điểm $\left( { - 1;0} \right)$là:

$y = y'\left( { - 1} \right)\left( {x + 1} \right) + 0 = 0\left( {x + 1} \right) + 0 = 0 \Rightarrow y = 0$

+) Tiếp tuyến tại điểm $\left( {\dfrac{1}{2};0} \right)$ là:

$y = y'\left( {\dfrac{1}{2}} \right)\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right) + 0 = \dfrac{9}{2}\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right) = \dfrac{9}{2}x - \dfrac{9}{4} \Rightarrow y = \dfrac{9}{2}x - \dfrac{9}{4}$

Vậy tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành là: $y = \dfrac{9}{2}x - \dfrac{9}{4}$ hoặc $y=0$

c) 

Ta có:

Tiếp tuyến song song với $\left( d \right):y = 12x - 1$

$ \Rightarrow y' = 12 \Leftrightarrow 6{x^2} + 6x = 12 \Leftrightarrow {x^2} + x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
x =  - 2
\end{array} \right.$

+) Nếu $x=1\to$ tiếp điểm có tọa độ là: $(1;4)$

$\to $ Tiếp tuyến tại điểm $(1;4)$ là: $y = 12\left( {x - 1} \right) + 4 \Leftrightarrow y = 12x - 8$

+) Nếu $x=-2\to$ tiếp điểm có tọa độ là: $\left( { - 2; - 5} \right)$

$\to$ Tiếp tuyến tại điểm $\left( { - 2; - 5} \right)$ là: $y = 12\left( {x + 2} \right) - 5 \Rightarrow y = 12x + 19$

Vậy 2 tiếp tuyến cần tìm là: $y = 12x + 19$ hoặc $ y = 12x - 8$

d) Ta có:

$2{x^3} + 3{x^2} + 2m = 0 \Leftrightarrow 2{x^3} + 3{x^2} - 1 =  - 2m - 1(1)$

Số nghiệm của phương trình (1) bằng với số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng $y =  - 2m - 1$

Dựa vào đồ thị ta có:

+) Nếu $ - 2m - 1 <  - 1 \Leftrightarrow m > 0$ hoặc $ - 2m - 1 > 0 \Leftrightarrow m < \dfrac{{ - 1}}{2}$

$\to $Đường thẳng $(d)$ giao (C) tại 1 điểm duy nhất.

$\to$ Phương trình (1) có 1 nghiệm.

+) Nếu $ - 2m - 1 =  - 1 \Leftrightarrow m = 0$ hoặc $ - 2m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{{ - 1}}{2}$

$\to$ Đường thẳng $(d)$ giao (C) tại 2 điểm phân biệt

$\to$ Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt

+) Nếu $ - 1 <  - 2m - 1 < 0 \Leftrightarrow \dfrac{{ - 1}}{2} < m < 0$

$\to $Đường thẳng $(d)$ giao (C) tại 3 điểm phân biệt

$\to$ Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt

Vậy $m>0$ hoặc $m < \dfrac{{ - 1}}{2}$ phương trình có 1 nghiệm.

$m \in \left\{ {\dfrac{{ - 1}}{2};0} \right\}$ phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

$\dfrac{{ - 1}}{2} < m < 0$ phương trình có 3 nghiệm phân biệt.