a,

MA, MB là hai tiếp tuyến nên $MA=MB$, $\widehat{AMH}=\widehat{BMH}$

$\Delta ABM$ cân tại M có MH là phân giác nên cũng là đường cao.

$\Rightarrow AB\bot OM=H$

$\Delta AOM$, $\widehat{OAM}=90^o$, $AH\bot OM$ có:

$OH.OM=OA^2=R^2$

b,

$\widehat{ADC}$ nội tiếp chắn đường kính nên là góc vuông.

$\Rightarrow \Delta ACD$ vuông tại D.

$\Delta MDB$ và $\Delta MBC$ có:

$\widehat{MBD}=\widehat{MCB}=0,5 sđ\stackrel\frown{BD}$

$\widehat{BMC}$ chung 

$\Rightarrow \Delta MBD\backsim \Delta MBC$ (g.g)

$\Rightarrow \dfrac{MB}{MD}=\dfrac{MC}{MB}\Leftrightarrow MB^2=MC.MD$  (1)

$\Delta OBM,\widehat{OBM}=90^o; BH\bot OM$ có $MB^2=MH.MO$       (2)

(1)(2)$\to MH.MO=MC.MD$

c,

$\Delta AKM$ có $AD$, $KH$ là các đường cao nên H là trực tâm.

Kẻ $BI\bot AM=E$

$\Rightarrow IK\bot AM=E$

Mà $AC\bot AM=E\Rightarrow AC//KI$

a) Ta có: $MA,MB$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $A,B$

$\Rightarrow MA = MB$

mà $OA = OB = R$

nên $OM$ là trung trực của $AB$

$\Rightarrow OM\perp AB$

Áp dụng hệ thức lượng trong $∆MAO$ vuông tại $A$ đường cao $AH$ ta được:

$OH.OM = OA^2 = R^2$

b) Ta có:

$\widehat{ADC}=90^o$ (nhìn đường kính $AC$)

$\Rightarrow ∆ADC$ vuông tại $D$

Xét $∆MAD$ và $∆MCA$ có:

$\widehat{D} = \widehat{A} = 90^o$

$\widehat{A}:$ góc chung

Do đó $∆MAD\sim ∆MCA\, (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{MA}{MC} = \dfrac{MD}{MA}$

$\Rightarrow MA^2 = MD.MC$

Ta lại có:

$MH.MO = MA^2$ (hệ thức lượng)

$\Rightarrow MH.MO= MD.MC$

Hoặc:

Ta có: $MA$ là tiếp tuyếp của $(O)$ tại $A$

$MDC$ là cát tuyến của $(O)$

Áp dụng hệ thức lượng trong đường tròn, ta được:

$MD.MC = MA^2$

Lại có: $MH.MO = MA^2$

$\Rightarrow MH.MO = MD.MC$

c) Xét tứ giác $ABDH$ có:

$\widehat{H}=\widehat{D}=90^o$

Do đó $ABDH$ là tứ giác nội tiếp

$\Rightarrow\widehat{BAD} = \widehat{BHD}= \widehat{IHD}$

Ta lại có: $HIDK$ là tứ giác nội tiếp $(\widehat{H} + \widehat{K} = 180^o)$

$\Rightarrow \widehat{IHD} = \widehat{IKD}$

$\Rightarrow \widehat{BAD}=\widehat{IKD}$

Mặt khác: $\widehat{BAD}=\widehat{DCA}$ (cùng chắn $\overparen{AD}$)

nên $\widehat{DCA}=\widehat{IKD}$

$\Rightarrow IK//AC$

Từ $B$ kẻ $BP\perp AC$ cắt $DC$ tại $N$

Ta có:

$MA//BP \quad (\perp AC)$

$\Rightarrow \widehat{MAB}=\widehat{ABP}=\widehat{HBN}$ (so le trong)

mà $\widehat{MAB}=\widehat{MAH}=\widehat{HDN}$ ($MAHD$ là tứ giác nội tiếp)

nên $\widehat{HDN}=\widehat{HBN}$

$\Rightarrow HDBN$ là tứ giác nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{HBD}=\widehat{HND}$

mà $\widehat{HBD}=\widehat{DCA}$ (cùng chắn $\overparen{AD}$)

nên $\widehat{HND}=\widehat{DCA}$

$\Rightarrow HN//AC$

Ta lại có:

$HA = HB=\dfrac{1}{2}AB$

$\Rightarrow BN=NP$

$\Rightarrow HN$ là đường trung bình của $∆ABP$

$\Rightarrow HN=\dfrac{1}{2}AP$

Áp dụng định lý $Thales$:

$+)\quad IK//OA\, (IK//AC)$

$\Rightarrow \dfrac{IK}{OA} = \dfrac{HK}{HA}$

$+)\quad HN//AC\, (cmt)$

$\Rightarrow \dfrac{HN}{AC}=\dfrac{HK}{AK}$

Chia vế theo vế, ta được:

$\dfrac{IK}{HN}\cdot\dfrac{AC}{OA}=\dfrac{HK}{HA}\cdot\dfrac{AK}{HK}$

$\Rightarrow \dfrac{2IK}{HN}=\dfrac{AK}{HA}$

$\Rightarrow IK = \dfrac{AK}{2}\cdot\dfrac{HN}{HA}$

$\Rightarrow IK = \dfrac{AK}{2}\cdot\dfrac{\dfrac{1}{2}AP}{\dfrac{1}{2}AB}$

$\Rightarrow IK = \dfrac{AK}{2}\cdot\dfrac{AP}{AB}$

$\Rightarrow IK = \dfrac{AK}{2}\cdot\sin\widehat{ABK}$

$\Rightarrow IK = \dfrac{AK}{2}\cdot\sin\widehat{MAB}$

$\Rightarrow IK = \dfrac{AK}{2}\cdot\sin\widehat{MBK}$